DERIVADOS
DERIVADOS ELEMENTALES
Llamamos derivadas elementales o inmediatas a las derivadas de funciones elementales como funciones constantes, lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas, etc. Estas se calculan con la propia definición de derivada mediante el cálculo del límite.
A continuación veremos cómo llegamos a las derivadas de estas funciones elementales.
Función constante
Si f(x) = k es una función constante con k ∈ | R , definimos su derivada como:
Si f(x) = k
f'(x) = 0
Gráficamente, podemos observar que para cualquier función constante, la pendiente de cualquier línea recta tangente a la función será igual a cero.
Función lineal
Sea f(x) = ax una función lineal con a ∈ |R, definimos su derivada como:
Si f(x) = ax
f'(x) = a
Gráficamente, podemos observar que para cualquier función lineal, la pendiente de cualquier tangente recta a la función será igual a la pendiente de la función, y es decir:
Función cuadrática
Si f(x) = x² es una función cuadrática, definimos su derivada como :
Si f(x) = x²
f'(x) = 2x
Ejemplo
Dada la función f(x) = x² , si queremos hallar la pendiente de la recta tangente en el punto (1,1) tendremos:
Primero derivamos la función:
f'(x) = 2x
Sustituimos la coordenada x del punto en la derivada:
f'(x) = 2x
f'(1) = 2.(1)
f'(1) = 2
Por lo tanto, la pendiente m de la línea tangente es igual a 2
Función polinómica
Mar f(x) = una función polinómica con n ∈ | N , Definimos su derivada como :
Nota: Esta fórmula se utiliza para cualquier función potencial con n ≠ 0 y solo para potencias enteras o fraccionarias, positivas y negativas. En cualquier caso, a continuación veremos la demostración de la derivada de una función con raíz cuadrada.
Ejemplo:
Función racional
Si f(x) = 1/x es una función racional, definimos su derivada como:
f(x) = 1/x → f'(x) = -1/ x²
Función irracional
Si f(x) = √x es una función irracional, definimos su derivada como:
Y en general para cualquier función irracional con índice raíz n
Definimos su derivada como:
Ejemplo:
Si ahora resolvemos la derivada de una función irracional con la derivada de una función polinómica, obtenemos:
Convertimos la raíz en una potencia racional y aplicamos la derivada.
Resolvemos la diferencia de potencia
Transformamos la potencia negativa en una potencia positiva en el denominador.
Volvemos a escribir el poder racional como raíz
De este modo, demostramos que cualquier función irracional puede resolverse como una función potencial que involucra un número fraccionario.
Ejemplo:
Función exponencial
Mar f(x) = una función exponencial con a ∈ | R , definimos su derivada como :
Función logarítmica
Mar f(x) = una función logarítmica con a ∈ | R/a > 0 ya ≠ 1 , definimos su derivada como :
Función Valor absoluto
Sea f(x) = |x| una función de valor absoluto , definimos su derivada como :
Nota: Si tenemos la derivada del valor absoluto |x|, podemos escribirla como:
funciones trigonométricas
Función sinusal
f(x) = sin(x) Con una función seno , definimos su derivada como :