DERIVADAS
Función logarítmica
Sea una función logarítmica con a ∈ |R / a > 0 y a ≠ 1, procedemos a calcular f' por definición, es decir:
Como al calcular el limite obtenemos una indeterminación, procedemos a transformar la expresión a la forma
Como tenemos una resta de logaritmos en el numerador, podemos agruparlo como logaritmo de una division
Convertimos la división como un producto del inverso (a : b/c = a . c/b)
Por propiedades de logaritmo escribimos el producto del logaritmo como potencia
Por propiedad de límites calculamos el limite del logaritmo como logaritmo del límite.
Además sacamos factor común x y simplificamos
Convertimos la división h/x como 1 dividido su inverso x/h (a/b = 1 . a/b = 1 : b/a)
Como el denominador y la potencia deben ser iguales aplico como potencia el producto de x/h . h/x para no alterar la expresión original
Ahora si, ya podemos calcular el limite
Multiplico las potencias sobrantes: h/x . 1/h simplificando h
Aplico propiedades de logaritmos llevando la potencia como producto
Aplicamos cambio de base y resolvemos el producto
Queda demostrado que la derivada de cualquier función logarítmica es:
