DERIVADAS
Antes de intentar definir derivadas debemos analizar el siguiente grafico:
Dada una función f continua en todo su dominio:
Dibujamos dos puntos cualquiera que pertenezcan a la función (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) con (x1, f(x1)) fijo
Y trazamos una recta secante que pase por esos dos puntos
Si queremos averiguar la pendiente de dicha recta debemos hacer:
m = ∆y = f(x2) - f(x1)
∆x x2 - x1
Ahora si acortamos las distancias entre x1 y x2 podemos observar que esa recta secante se acerca mucho a la pendiente de una recta tangente a la función.
Por lo tanto, si queremos la pendiente de esa recta tangente a la función en el punto (x1, f(x1)) debemos calcular un limite para cuando esa diferencia entre x1 y x2 tienda a cero, es decir:
Ahora si a esa distancia entre x1 y x2 la llamamos h podemos redefinir el limite para un punto x fijo cualquiera:
x1 es x
x2 es x+h
f(x2) es f(x+h)
quedando el limite antes definido como:
Con estos conceptos aclarados, ya podemos definir que es una derivada:
Definición
Una derivada en f es el límite del cociente de diferencias ∆y cuando el incremento de la variable independiente ∆x o h tiende a cero y se denota como
Df(x) = f'(x) = y' = dy/dx (derivada de y en función de x)
Geométricamente la derivada de una función representa a la pendiente m de la recta tangente a esa función
Ejemplo:
1) Obtén la función derivada f' a la función f(x) = - x² + 4x +1
2) Determina la recta tangente a la función en el punto (3,4)
Para encontrar la función derivada f' aplicamos la definición:
Dado que la función es f(x) = - x² + 4x +1
donde tenemos f(x) reemplazamos por -x² + 4x + 1
donde tenemos f(x+h) reemplazamos por -(x+h)² +4(x+h) +1
Después de eliminar los paréntesis se cancelan la mayoría de los términos del numerador, quedando solo los términos con h
Al calcular el limite nos encontramos con una indeterminación, y la eliminamos haciendo factor común de h y simplificando ésta con el denominador.Finalmente al calcular el limite nuevamente queda f' = -2x + 4
Teniendo ya la derivada f' podemos encontrar la pendiente de la recta tangente en el punto a = (3,4):
Primero que nada, nos aseguramos que el punto pertenece a la función:
Reemplazamos:
f(3) = - x² + 4x + 1
y = - 3² + 4.3 + 1
y = - 9 + 12 + 1
y = 4
Verificamos que el punto a pertenece a la función
Procedemos a calcular la pendiente m en el punto a con la función derivada f'=-2x + 4
f'(3) = -2.3 + 4
f'(3) = - 6 + 4
f'(3) = -2
Por lo tanto la pendiente m = -2 en el punto (3,4)
Ya teniendo un punto y la pendiente podemos hallar la función de la recta tangente
y = m(x-x0) + y0
y = -2(x - 3) + 4
y = -2x + 6 + 4
y = -2x + 10
Condiciones necesarias
-
CONTINUIDAD:
Como ya lo dijimos en la definición, una derivada es un límite, por lo tanto, para que exista la derivada de una función f, ésta debe ser continua
-
DIFERENCIALIDAD
Como ya lo dijimos en la definición, una derivada es un límite, por lo tanto, si existe el límite L, éste es único
Gráficamente podemos identificar cuando no existe la derivada en un punto cuando observamos un punto anguloso
Ejemplo:
Dada la función f(x) = |x|, vamos a calcular su derivada en x = 0
Para ello, vamos a calcular las derivadas laterales, es decir:
La derivada por izquierda es diferente a la derivada por derecha, por lo tanto, no existe la derivada en x = 0
Ejercicios
Calcula, mediante la definición, la derivada de las funciones en los puntos que se indican y determina la recta tangente a la función
