DERIVADAS
DERIVADAS ELEMENTALES
Llamamos derivadas elementales o inmediatas a las derivadas de funciones elementales como la función constante, lineal, cuadrática, exponencial, logaritmo, etc. y se calculan con la propia definición de derivada calculando el límite.
A continuación veremos como llegamos a las derivada de estas funciones elementales.
Función constante
Sea f(x) = k una función contante con k ∈ |R, definimos su derivada como:
Si f(x) = k
f'(x) = 0
Gráficamente, podemos observar que para cualquier función constante, la pendiente de cualquier recta tangente a la función será igual a cero
Función lineal
Sea f(x) = ax una función lineal con a ∈ |R, definimos su derivada como:
Si f(x) = ax
f'(x) = a
Gráficamente, podemos observar que para cualquier función lineal, la pendiente de cualquier recta tangente a la función será igual a la pendiente de la función, es decir: a
Función cuadrática
Sea f(x) = x² una función cuadrática, definimos su derivada como:
Si f(x) = x²
f'(x) = 2x
Ejemplo
Dada la función f(x) = x², si queremos averiguar la pendiente de la recta tangente en el punto (1,1) haremos:
Primero derivamos la función:
f'(x) = 2x
Luego reemplazamos la coordenada x del punto en la derivada:
f'(x) = 2x
f'(1) = 2.(1)
f'(1) = 2
Por lo tanto, la pendiente m de la recta tangente es igual a 2
Función polinómica
Sea f(x) = una función polinómica con n ∈ |N, definimos su derivada como:
Nota: Esta formula sirve para cualquier función potencia con n ≠ 0 es decir, potencias enteras o fraccionarias, positivas y negativas. De todas maneras, a continuación veremos la demostración de la derivada de una función con raíz cuadrada
Ejemplo:
Función racional
Sea f(x) = 1/x una función racional, definimos su derivada como:
f(x) = 1/x → f'(x) = -1/x²
Función irracional
Sea f(x) = √x una función irracional, definimos su derivada como:
Y en general para cualquier función irracional con raíz índice n
definimos su derivada como:
Ejemplo:
Si ahora resolvemos la derivada de una función irracional con la función derivada de una función polinómica obtenemos:
Convertimos la raíz en una potencia racional y aplicamos la derivada
Resolvemos la diferencia en la potencia
Transformamos la potencia negativa a una potencia positiva en el denominador
Volvemos a escribir la potencia racional como raíz
Así queda demostrado que cualquier función irracional podemos resolverla como una función potencia siendo n un número fraccionario.
Ejemplo:
Función exponencial
Sea f(x) = una función exponencial con a ∈ |R, definimos su derivada como:
Función logarítmica
Sea f(x) = una función logarítmica con a ∈ |R / a > 0 y a ≠ 1, definimos su derivada como:
Función Valor absoluto
Sea f(x) = |x| una función valor absoluto, definimos su derivada como:
Nota: Si bien ya tenemos la derivada del valor absoluto |x|, podemos escribirla como:
Funciones trigonométricas
-
Función seno
Sea f(x) = sen (x) una función seno, definimos su derivada como: