INTEGRAL
Definición
Una integral es la antiderivada o primitiva de una función F(x); es decir, es otra función F(x) cuya derivada es f(x)
F′ (x) = f(x)
Se denota como
Una función F(x) tiene, en general, infinitas primitivas pero todas ellas difieren únicamente en una constante C. Al conjunto de todas las primitivas de F(x) se le llama integral indefinida
Ejemplo:
Vamos a hallar la integral de f(x) =3x + 2, es decir:
Demostración: Si derivamos F(x) =3/2x² + 2x + C deberíamos obtener nuevamente la función original f(x) =3x + 2
Nota: Como se ve en la demostración, si F(x) es una primitiva de f (x), es decir F′(x) = f(x), también lo es F(x) + C, para cualquier constante C ∈ |R. Esto es porque sus derivadas coinciden: (F(x) + C)′ = F′(x) + C ′ = F′(x) = f(x).
INTEGRALES INMEDIATAS
Las integrales inmediatas son aquellas cuyo resultado puede obtenerse mentalmente, sin más que considerar (a la inversa) las reglas de derivación. A continuación mostraremos las integrales inmediatas de uso más frecuente:
La integral de dx es igual a 1 dx por lo tanto, debemos razonar de la siguiente forma:
Cual es la función primitiva cuya derivada es 1?
La respuesta es f(x) = x porque al derivar x obtenemos 1 o sea: f'(x) = 1 y no debemos olvidar que a cualquier función primitiva debemos agregar una constante c. Por eso ∫ 1dx = x + c
La integral de cualquier función polinómica es otra función polinómica un grado mayor
Ejemplo:
Pero si derivamos el resultado obtenemos:
No volvemos a la función original f(x) = x², nos sobra ese 3, por lo tanto a F(x) le agregaremos un 1/3 para que al derivar se simplifiquen, es decir:
Una función irracional es igual al caso anterior por tratarse de una potencia racional, con una pequeña diferencia:
Cuando derivamos una raíz cuadrada, el índice queda en el denominador dividiendo, por lo tanto para eliminar ese 2, debemos agregar a la función primitiva un 2 multiplicando para que se simplifiquen, es decir:
Si derivamos la función primitiva obtenemos:
Caso similar al anterior, a diferencia que ahora al derivar la función exponencial nos queda
por lo tanto, a la función primitiva debemos agregar
Demostración:
Demostración:
La derivada de ln x + C = 1/x
Demostración:
F (x) = - cos (x) + C =
F´(x) = - (-sen(x)) + 0
F´(x) = f(x) = sen(x)
Demostración:
F (x) = sen (x) + C =
F´(x) = cos (x) + 0
F´(x) = f(x) = cos (x)
Propiedades
-
La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la función.
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La integral de la suma de funciones es la suma de las integrales.
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La integral de la resta de funciones es la resta de las integrales.
Ejemplo:
Haciendo uso de la propiedades ya podemos ver como resolvimos la 1er integral que dimos como ejemplo al comienzo del apartado, es decir
Ejercicios:
