DERIVADAS
Las derivadas sucesivas implican calcular la derivada de una función repetidamente (primera, segunda, tercera, etc.), donde cada nueva derivada es el resultado de derivar la función anterior. Se denotan como y son fundamentales para el análisis de funciones, como veremos a continuación.
Concavidad
Sea f una función continua y (a,b) un intervalo del dominio de la función:
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Si la f'' < 0 entonces la función es cóncava hacia abajo en (a,b),
-
Si la f''(c) = 0 entonces x = c es in punto de inflexión,
-
Si la f'' > 0 entonces la función es cóncava hacia arriba en (a,b).
Ejemplo:
1) Primero analizamos su dominio: En este caso Dom f = |R
2) Calculamos la 2da derivada de f:
3) Igualamos la 2da derivada a 0 para averiguar en que valores del dominio la función tiene uno o varios puntos de inflexión
6x = 0
x = 0
En este caso, tenemos un solo punto de inflexión en x = 0
Teniendo un punto de inflexión podemos analizar la concavidad de la función a su izquierda y derecha de dicho punto calculando los limites laterales de f''
A la izquierda de x = 0 la función es cóncava hacia abajo
A la derecha de x = 0 la función es cóncava hacia arriba
Criterio de la segunda derivada
Sea f una función dos veces derivable en el intervalo ]a,b[ ⊂ |R y sea c ∈ ]a,b[ tal que f′(c) = 0. Entonces,
-
Si f′′(z) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en z.
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Si f′′(z) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en z.
Ejemplo:
1) Dom f = |R
2) Calculamos la 1er derivada e igualamos a 0 para determinar puntos críticos:
3) Calculamos la 2da derivada y reemplazamos x por los valores encontrados anteriormente:
Como f''(1) = 2 (positivo) la funcion tiene un máximo en x = 1
Como f''(7/9) = -2 (negativo) la función tiene un mínimo en x = 7/8
Nota: Podemos notar que con el criterio de la 2da derivada encontrar los mínimos y máximos de una función es mas directo que con el criterio de la 1er derivada ya que:
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Si tenemos un punto critico y la función es cóncava hacia abajo (2da derivada negativa) entonces el punto crítico es un máximo relativo
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Si tenemos un punto critico y la función es cóncava hacia arriba (2da derivada positiva) entonces el punto crítico es un mínimo relativo
Ejercicios:
