DERIVADAS
Punto crítico
Un punto crítico de una función f(x) es un valor c en el dominio de la función donde:
-
La derivada de f es igual a cero, es decir f′(c) = 0
-
La derivada no existe.
f'(c) = 0
f'(c) = 0
f'(c) = ∄
Ejemplo:
Vamos a determinar los puntos críticos de
f'(c) = ∄
1) Analizamos el dominio de la función: En este caso el dominio pertenece a todos los reales, es decir, Domf = |R
2) Derivamos la función:
Hacemos la derivada de un producto
Escribimos las potencias racionales como raíces
Sumamos ambos términos
Unimos las raíces cúbicas del numerador y simplificamos raíz con potencia
Por último eliminamos la raíz del denominador
3) Analizamos el punto crítico donde f'(c) no existe, por lo tanto:
Si analizamos el dominio de la derivada de la función vemos que Dom f' = |R - {0} por lo tanto, en x = 0 tenemos un punto anguloso
4) Buscamos los puntos críticos donde f'(c) = 0, por lo tanto, igualamos la función derivada a cero para encontrar el o los puntos c
Como la fracción está igualada a 0, el numerador debe ser 0
Como tenemos un producto igualado a 0, cada factor puede valer 0, por lo tanto:
La solución x = 0 es descartada ya que no pertenece al dominio de la función derivada
Por lo tanto encontramos una única solución en x=1/5
La función tiene dos puntos críticos en:
f'(0) = ∄ Por lo tanto en x = 0 hay un punto anguloso
f'(1/5) = 0 Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente a la función es cero (m = 0)
Criterio de la primer derivada
Sea c un número crítico de una función continua f.
-
Si f′ cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en c.
-
Si f′ cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en c.
-
Si f′ no cambia de signo en c, entonces c es un punto de inflexión y no tiene ningún máximo o mínimo local.
Nota: Si c es un mínimo donde f(c) < f(x) para cualquier x perteneciente al dominio de la función, entonces f(c) que es mínimo absoluto.
Si c es un máximo donde f(c) > f(x) para cualquier x perteneciente al dominio de la función, entonces f(c) que es máximo absoluto.
Ejemplo 1)
Vamos a buscar los puntos críticos en la función:
1) Analizamos el dominio: Dom f = |R
2) Derivamos la función:
f'(x) = 3x² - 12
-
El dominio de la función derivada es: Dom f' = |R por lo tanto, la función no tiene puntos angulosos
-
Igualamos la función derivada a cero para hallar posibles mínimos o máximos relativos:
3x² - 12 = 0 Despejamos x
3x² = 12
x² = 12/3
x = ±√4
x = ±2
Tenemos 2 posibles candidatos: x1 = -2 y x2 = 2
En x = -2 la pendiente de la recta tangente a la función es m=0, ahora analizaremos:
-
Intervalo izquierdo a x = -2:
Calculamos el limite por izquierda cuando x tiende a -2 en la función derivada, es decir
La pendiente de las rectas tangentes a la función a la izquierda de x = -2 es positiva, por lo tanto la función es creciente a la izquierda de x = -2
-
Intervalo derecho a x = -2:
Calculamos el limite por derecha cuando x tiende a -2 en la función derivada, es decir
La pendiente de las rectas tangentes a la función a la derecha de x = -2 es negativa, por lo tanto la función es decreciente a la derecha de x = -2
Por el criterio de la 1er derivada podemos afirmar que en x = -2 la función tiene un máximo relativo
En x = 2 la pendiente de la recta tangente a la función es m=0, ahora analizaremos:
-
Intervalo izquierdo a x = 2:
Calculamos el limite por izquierda cuando x tiende a 2 en la función derivada, es decir
La pendiente de las rectas tangentes a la función a la izquierda de x = 2 es negativa, por lo tanto la función es decreciente a la izquierda de x = 2
-
Intervalo derecho a x = 2:
Calculamos el limite por derecha cuando x tiende a 2 en la función derivada, es decir
La pendiente de las rectas tangentes a la función a la derecha de x = 2 es positiva, por lo tanto la función es creciente a la derecha de x = 2
Por el criterio de la 1er derivada podemos afirmar que en x = 2 la función tiene un mínimo relativo
Mínimo y máximo absoluto
Como obtuvimos un solo mínimo y un solo máximo relativo, no tenemos otros mínimos y máximos para comparar, solo nos queda determinar los limites en los extremos de la función para determinar si ese mínimo y máximo relativo son absolutos.
En el extremo izquierdo la función tiende a ∞, por lo tanto, la función no tiene mínimos absolutos
En el extremo derecho la función tiende a ∞, por lo tanto, la función no tiene maximos absolutos
Ejemplo 2)
Vamos a buscar los puntos críticos en la función:
1) Analizamos el dominio: Dom f = |R
2) Derivamos la función:
f'(x) = 3x²
-
El dominio de la función derivada es: Dom f' = |R por lo tanto, la función no tiene puntos angulosos
-
Igualamos la función derivada a cero para hallar posibles mínimos o máximos relativos:
3x² = 0 Despejamos x
x² = 0
x = 0
En x = 0 la pendiente de la recta tangente a la función es m=0, ahora analizaremos:
-
Intervalo izquierdo a x = 0:
Calculamos el limite por izquierda cuando x tiende a 0 en la función derivada, es decir
La pendiente de las rectas tangentes a la función a la izquierda de x = 0 es positiva, por lo tanto la función es creciente a la izquierda de x = 0
-
Intervalo derecho a x = 0:
Calculamos el limite por derecha cuando x tiende a 0 en la función derivada, es decir
La pendiente de las rectas tangentes a la función a la derecha de x = 0 también es positiva, por lo tanto la función es creciente a la derecha de x = 0
Por el criterio de la 1er derivada podemos afirmar que en x = 0 tenemos un punto de inflexión.
Ejercicios
