DERIVADAS
En el apartado anterior vimos como se derivan funciones elementales, en este apartado nos centraremos en funciones mas complejas que se pueden escribir como composición de funciones elementales. Podremos derivar estas funciones utilizando las reglas de derivación, la regla de la cadena y las derivadas elementales.
Reglas de derivación
Sean f y g funciones derivables en todo su dominio y g' ≠ 0, entonces:
-
Derivada de una suma de funciones:
(f + g)' = f' + g'
Demostración:
Aplicamos propiedad distributiva del signo -
Reordenamos las funciones f primero y las g después
Separamos el denominador en dos fracciones
Aplicamos propiedad de limite de una suma: lim (a+b) = lim a + lim b
El 1er limite es f' por definición y el 2do limite g' por definición
Ejemplo
D (x² + √x) = D (x²) + D (√x)
= 2x + 1
2√x
-
Derivada de una resta de funciones:
(f - g)' = f' - g'
Demostración:
Aplicamos definición de derivada
Aplicamos propiedad distributiva del signo -
Reordenamos las funciones f primero y las g después
Separamos el denominador en dos fracciones
Aplicamos propiedad de limite de una resta: lim (a-b) = lim a - lim b
Ejemplo
D [sex (x) - ln (x)] = D [ sen (x)] - D[ ln (x) ]
= cos (x) - 1
x
-
Derivada de un producto de funciones:
(f . g)' = f'. g + f . g'
Demostración:
Aplicamos definición de derivada
Agregamos al numerador f(x).g(x+h) y su opuesto para no alterar la expresión
Aplicamos propiedad conmutativa para reordenar el numerador
De los 1eros dos términos sacamos factor común g(x+h) y de los últimos dos sacamos factor común f(x). Además distribuimos el denominador en dos fracciones
Aplicamos propiedad de limites con respecto a sumas y productos y calculamos cada uno de ellos
Ejemplo
(5x²)' = (5)'. x² + 5 . (x²)'
= 0 . x² + 5 . 2x
= 10x
-
Derivada de una división de funciones:
(f/g)' = f'. g - f . g'
g²
Demostración:
Aplicamos definición de derivada
Hacemos la resta de las fracciones del numerador
Resolvemos la división de la fracción por h
Agregamos al numerador f(x).g(x) y su opuesto para no alterar la expresión
Aplicamos propiedad conmutativa para reordenar el numerador
De los 1eros términos sacamos factor común g(x) y de los últimos dos sacamos factor común f(x)
Separamos el denominador en dos fracciones
Separamos los productos del numerador y denominador en un producto de fracciones
Aplicamos propiedad de limites en productos y restas
Calculamos los limites y resolvemos
Como ejemplo de la derivada de una división, vamos a buscar la derivada de la funcion racional, funcion elemental que no
(5/x)' = (5)'. x - 5 . (x)'
x²
= 0 . x - 5 . 1
x²
= -5
x²
Reglas de la cadena
Sean f y g funciones derivables en todo su dominio, entonces:
(f o g)'(x) = f'[g(x)] . g'(x)
Ejemplo:
Sea f(x) = |3x²| entonces su derivada será:
f'(x) = |3x²| . (3x²)'
3x²
Siguiendo la regla de cadena, a la derivada del valor absoluto debo multiplicar la derivada de la expresión que tengo dentro del valor absoluto
La derivada de |x| es |x|/x y dentro tenemos un producto p.q, por lo tanto su derivada es p'.q + p.q'
f'(x) = |3x²| . (0x²+3.2x)
3x²
Por ultimo solo queda resolver y simplificar
f'(x) = |3x²| . 6x
3x²
f'(x) = 2|3x²|
x
Conociendo las reglas de derivación y la regla de la cadena podemos enumerar una lista de derivadas de funciones compuestas a partir de funciones elementales
Ejercicios
