DERIVADAS
DERIVADAS ELEMENTALES
Llamamos derivadas elementales o inmediatas a las derivadas de funciones elementales como la función constante, potencia, coseno, exponencial, logaritmo, etc. y se calculan con la propia definición de derivada calculando el límite.
A continuación veremos como llegamos a las derivada de estas funciones elementales.
Las funciones más complejas se pueden escribir como composición de funciones elementales. Podremos derivar estas funciones más complejas utilizando las reglas de derivación, la regla de la cadena y las derivadas elementales.
Reglas de derivación
Sean f y g funciones derivables en todo su dominio y g' ≠ 0, entonces:
-
Derivada de una suma de funciones:
(f + g)' = f' + g'
-
Derivada de una resta de funciones:
(f - g)' = f' - g'
-
Derivada de un producto de funciones:
(f . g)' = f'. g + f . g'
-
Derivada de una división de funciones:
(f/g)' = f'. g - f . g'
g²
Reglas de la cadena
Sean f y g funciones derivables en todo su dominio, entonces:
(f(x) o g(x))' = f' . g + g'
Función constante
Sea f(x) = k una función contante con k ∈ |R
Procedemos a calcular f' por definición, es decir:
Si f(x) = k
f'(x) = 0
Queda demostrado que la derivada de cualquier función contante o, dicho de otra manera, la derivada de cualquier número real siempre es igual a cero. Es decir:
Nota: La división 0/0 es una indeterminación cuando el numerador y denominador tienden a 0. En este caso, el numerador no tiende a 0 sino que, es exactamente igual a cero, por eso no hay indeterminación alguna y 0 dividido cualquier numero distinto de cero (por mas infinitamente pequeño que sea) da 0
Función lineal
Sea f(x) = ax + b una función lineal con a y b ∈ |R
Procedemos a calcular f' por definición, es decir:
Queda demostrado que la derivada de cualquier función lineal o, dicho de otra manera, la derivada de cualquier término de grado 1 es:
Si f(x) = ax
f'(x) = a
Función cuadrática
Sea f(x) = x² una función cuadrática, procedemos a calcular f' por definición, es decir:
Queda demostrado que la derivada de cualquier función cuadrática es:
Si f(x) = x²
f'(x) = 2x
Función polinómica
Sea f(x) = una función polinómica con n ∈ |N, procedemos a calcular f' por definición, es decir:
Queda demostrado que la derivada de cualquier función polinómica es:
Función exponencial
Sea f(x) = una función exponencial con a ∈ |R, procedemos a calcular f' por definición, es decir:
