INECUACION
Inecuaciones polinómicas
Una inecuación polinómica es toda inecuación de segundo grado o superior, y al igual que en las ecuaciones polinómicas, debe dejar el segundo miembro igual a cero y el 1er miembro debe factorizarse
Por ejemplo:
3x² + 7x + 2 > 0
Aplicamos baskara para factorizar el polinomio. (Ver factoreo )
x1 = -1/3 y x2 = -2
(x + 1/3) . (x + 2) > 0
Como tenemos un producto cuyo resultado es positivo ( > 0) tenemos 2 opciones: Que ambos factores sean positivos o que ambos sean negativos
Resolvemos cada una de las 4 inecuaciones por separado
x + 1/3 > 0 y x + 2 > 0
x > -1/3 y x > -2
El Cs1 esta dado por todos los valores que pertenecen tanto al intervalo rojo como al intervalo azul, por lo tanto:
Cs1 = (-1/3 , ∞)
ó
x + 1/3 < 0 y x + 2 < 0
x < -1/3 y x < -2
Cs = (-∞ , -2) U (-1/3 , ∞)
El Cs final está dado por el intervalo Cs1 unido al intervalo Cs2
El Cs2 esta dado por todos los valores que pertenecen tanto al intervalo rojo como al intervalo azul, por lo tanto:
Cs2 = (-∞ , -2)
Ejercicios:
Resuelve las siguientes inecuaciones cuadráticas, grafica y determina el conjunto solución
Inecuaciones racionales
Una inecuación racional es toda inecuación con alguna incógnita como denominador, y al igual que en las inecuaciones polinómicas, debe dejar el segundo miembro igual a cero.
Nota: Si tanto el numerador como el denominador esta conformado por un polinomio de grado 2 o superior, deben factorizarse y trabajar como en inecuaciones polinómicas.
Por ejemplo:
Antes de comenzar a resolver, debemos hallar los valores de x para los cuales no se cumple la inecuación, es decir. los valores que hacen los denominadores cero.
En este caso para x = -2 y x = -1 la inecuación no tiene solución.
Llevamos toda la expresión a un solo miembro dejando el 2do miembro en cero
Sacamos común denominador y restamos ambas fracciones
Aplicamos propiedad distributiva en el numerador
Agrupamos los términos semejantes
Ya terminados los pasos algebraicos analizamos la expresión: En este caso la expresión algebraica de la izquierda en menor que cero, es decir, negativa; por lo tanto para que se cumpla esa desigualdad tenemos 2 opciones:
1.1) Que el numerador sea positivo y el denominador sea negativo:
x-1 > 0 y (x + 2).(x + 1) < 0
x > 1 y x + 2 > 0 y x + 1 < 0
x > -2 x < -1
Cs1 = Ø
1.2) Que el numerador sea positivo y el denominador sea negativo:
x-1 > 0 y (x + 2).(x + 1) > 0
x > 1 y x + 2 < 0 y x + 1 > 0
x < -2 x > -1
Cs2 = Ø
2.1) Que el numerador sea negativo y el denominador sea positivo:
x-1 < 0 y (x + 2).(x + 1) > 0
x < 1 y x + 2 > 0 y x + 1 > 0
x > -2 x > -1
Cs3 = (-1 , 1 ]
2.2) Que el numerador sea negativo y el denominador sea positivo:
x-1 < 0 y (x + 2).(x + 1) > 0
x < 1 y x + 2 < 0 y x + 1 < 0
x < -2 x < -1
Cs4 = (-∞ , -2)
Por ultimo Cs1 U Cs2 U Cs3 U Cs4 es: Cs = (-∞ , -2) U (-1 , 1 ]
Nota: No olvides excluir los valores que hallamos en un principio que volvían cero a los denominadores
Ejercicios:
Resuelve las siguientes inecuaciones racionales, grafica y determina el conjunto solución
Nota: Para profundizar el contenido sugiero ver inecuaciones con valor absoluto en el siguiente apartado