Factoreo

Definición

Factorizar una expresión es, escribir la expresión como un producto de sus factores (todos los elementos de una multimplicacion reciben el nombre de "factores"). Por ejemplo: 15 = 3.5, donde los factores 3 y 5 son numeros primos.

Factorización de un polinomio es expresar un polinomio de grado en un producto de polinomios primos o irreducibles.

Nota: Un polinomio primo o irreducible es un polinomio que no se puede factorizar, es decir, no podemos escribirlo como producto de polinomios de grado inferior a él.

Ejemplo: Dado el polinomio P(x) = 3x²-75, podemos expresarlo en su forma factorizada de la siguiente forma:

Los polinomios primos 3, (x-5) y (x+5) son divisores de P(x), es decir, la división de P(x) en cualquiera de estos polinomios es exacta. Por lo tanto, también podemos definir al factoreo de un polinomio, como el producto de sus divisores.

Para todo polinomio P(x) cuyo divisor sea en la forma (x-a), el valor "a" es una raíz de P(x), por lo tanto, los valores 5 y -5 son raíces o ceros de P(x), es decir, son los valores que anulan el polinomio. Si calculamos el valor numérico de P(x) para 5 y -5, este será cero:

P(5) = 3(5)²-75 = 3.25 - 75 = 75 - 75 = 0

P(-5) = 3.(-5)² -75 = 3.25 - 75 = 75 - 75 = 0

Casos de factoreo:

Factor común:

Condición necesaria: Para aplicar este caso debe haber un factor presente en cada término del polinomio para poder dividir todos los términos por ese factor común.

Ejemplo 1: Dado P(x) = 12x + 18y - 24z, entre sus coeficientes se observa que todos ellos son múltiplos de 6, por lo tanto.

12x + 18y - 24z = 6.2x + 6.3y - 6.4z = 6.(2x + 3y - 4z )

Ejemplo 2 : Dado Q(x) = 5a2 - 15ab - 10 ac

El factor común entre los coeficientes es 5 y entre las variables es a, por lo tanto:

5a2 - 15ab - 10 ac = 5a.(a - 3b - 2c )

Ejercicios:

Factor común en grupo:

Condición necesaria: Para aplicar este caso, el polinomio debe tener un numero par de términos.

Ejemplo: Dado R(x) = 2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

Agrupo los términos que tienen un factor común

Saco el factor común de cada grupo

R(x) = (2ax - ay + 5a) + (2bx - by + 5b)

R(x) = (a + b).(2x -y +5)

Obtuvimos como resultado dos términos en los cuales, las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales; por lo tanto, podemos aplicar factor común.

R(x) = a.(2x - y + 5) + b(2x - y + 5)

Ejercicios:

Diferencia de cuadrado:

Condición necesaria:: Es una resta, cuyos términos tienen raíces cuadradas.

Ejemplo: Dado S(x) = x² − 9

El primer paso es escribir la diferencia con ambos términos con exponente cuadrático

S(x) = x² − 3²

Factorizamos haciendo uso de las bases de cada termino, x y 3

S(x) = (x - 3).(x + 3)

El factoreo se realiza haciendo el producto de: (la diferencia de las bases) por (la suma de las mismas)

Ejercicios:

Diferencia de igual potencia:

Este caso debemos separarlo en dos; para diferencias o restas de términos con potencias impares, y por otro lado, cuando son restas de términos con potencias pares.

Ejemplo 1 - Potencia impar:

El primer paso es escribir la diferencia con ambos términos con exponente cuadrático.

Factorizamos haciendo uso de las bases de cada termino, x y 3

El factoreo será un producto donde el primer polinomio es de la diferencia de las bases.

El segundo polinomio será una suma donde cada termino tendrá la primera base (x) comenzando desde el primer termino con una potencia menos que la del polinomio original, como T(x) es de grado 3, entonces el primer termino del segundo polinomio será x² y los siguientes términos tendrán una potencia menor.

Luego a cada termino del segundo polinomio agregaremos multiplicando, la segunda base (3) empezando desde el primer factor con base cero y los siguientes factores tendrán potencia mayor

Nota: Otra forma practica de encontrar el segundo polinomio es dividiendo T(x) con (x-3); o aplicando Regla de Ruffini.

Ejemplo 2 - Potencia par:

Si las potencias son pares, tenemos dos opciones para factorizar el polinomio:

La primera es haciéndolo como ya explicamos anteriormente, donde el 1er polinomio del factoreo será una diferencia y el 2do polinomio tendrá todos sus términos positivos.

En la segunda opción, el 1er polinomio del factoreo será una suma; y el 2do polinomio tendrá el primer termino positivo, el 2do negativo, el 3ro positivo, el 4to negativo, y así sucesivamente.

Suma de igual potencia:

Condición necesaria: Solo puede factorizarse una suma de igual potencia si sus potencias son impares. Una suma de potencias pares NO puede factorizarse en el conjunto de los números reales.

Ejemplo:

En la suma de igual potencia, la forma de trabajar es identica a la diferencia, cuando las potencias son pares, es decir:

Trabajamos con las bases y, el primer polinomio del factoreo será una suma.
El segundo polinomio tendrá sus términos con signos intercalados, empezando con el 1er termino positivo.

Nota: Recuerda que si este método te resulta confuso puedes encontrar el segundo polinomio es dividiendo P(x) con (2x+5)

Ejercicios:

Trinomio cuadrado perfecto:

Condición necesaria: El polinomio a factorizar debe tener tres términos, dos de los cuales deben tener raíces cuadradas, generalmente si el polinomio esta ordenado serán el primer y el ultimo termino.

Ejemplo 1:

Como se observa en el ejemplo, P(x) tiene tres términos, dos de los cuales (el 1ro y el ultimo) tienen raíces cuadradas.

Antes de factorizar, debemos hacer una verificación: El segundo termino (10x) debe ser igual al doble producto de las bases del 1er y del ultimo termino del trinomio. (10x = 2.x.5)

Ya verificado el paso anterior, podemos proceder a factorizar, el polinomio factorizado será el cuadrado, de la suma o la resta de las bases. (Que el binomio sea una suma o resta dependerá del signo del 2do termino del trinomio, en este caso 10x es negativo, por lo tanto el binomio del polinomio factorizado será una resta)

Ejemplo 2:

En este ejemplo, el segundo termino es positivo, por ello, el polinomio en su forma factorizada, será una suma

Ejercicios:

Falso Trinomio:

Condición necesaria: Es el caso de tener un trinomio cuadrado que no cumple con la verificación.

Existen dos métodos de resolución:

Método 1)

Como se ve en el ejemplo, no se cumple la verificación, por lo tanto no se trata de un trinomio cuadrado perfecto, sino, de un falso trinomio.

El primer método es aplicable a trinomios cuyo coeficiente principal "a" es igual a 1, pero si no fuese el caso simplemente podemos sacar factor común "a" y trabajamos con el polinomio resultante.

Consiste en encontrar dos valores x1 y x2 cuya suma cuya suma de igual al coeficiente lineal (3)
Y el producto de esos mismos valores x1 y x2 debe darnos igual al termino independiente (2)

El polinomio factorizado será P(x) = a(x+x1).(x+x2)

Nota: Este método es un procedimiento mental mas que algebraico, donde los valores buscados se encuentran por tanteo.

Método 2) El segundo método es haciendo uso de la Formula de Bascara. Esta es:

Dado el polinomio completo y ordenado P(x) = ax² + bx + c, siendo:

a = Coeficiente principal.

b= Coeficiente lineal.

c= Termino independiente

Siguiendo el mismo ejemplo visto anteriormente, P(x) = x² + 3x + 2

a = 1

b= 3

c= 2

Resolvemos la formula y encontramos (en este caso) dos resultados:

x1 = -1 cuando sumamos el numerador y,

x2 = -2 cuando restamos el numerador

El polinomio P(x) en su forma factorizada será de la forma:

P(x) = a(x-x1).(x-x2) es decir:

P(x) = (x + 1).(x + 2)

Nota: El radicando de la formula se denomina discriminante y se simboliza como: ∆ = b² - 4ac

Dependiendo de como sea el discriminante, el polinomio será:

Si ∆ > 0 entonces el polinomio es un falso trinomio

Si ∆ = 0 entonces el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto

Si ∆ < 0 entonces el polinomio no puede factorizarse en el conjunto de los números reales.

Ejercicios:

Cuadrinomio Cubo Perfecto:

Condición necesaria: Como el nombre lo indica, el polinomio debe tener cuatro términos, dos de los cuales deben tener raices cubicas.

Ejemplo 1:

Como se observa en el ejemplo, el polinomio tiene cuatro terminos y dos de ellos tienen raices cubicas, pero para factorear dicho polinomio debemos hacer dos verificaciones:

1) El triple del cuadrado de la primera base por la segunda base debe darnos como resultado el segundo termino del cuatrinomio: 3.(x²).(2y) = 6x²y

2) El triple de la primera base por el producto del cuadrado de la segunda base debe darnos como resultado el tercer termino del cuatrinomio: 3.(x).(2y)² = 12xy²

Si se cumplen estas dos verificaciones, podemos proceder a factorear el cuatrinomio, éste será el cubo de la suma o resta de las bases. (Que el binomio sea suma o resta dependerá del signo que posean las bases)

Ejemplo 2:

Ejercicios:

Método de Gauss:

El método de Gauss consiste en determinar las posibles raíces del polinomio y, hacer sucesivas divisiones hasta determinar cuales son o no son raíces reales de dicho polinomio.

Ejemplo: P(x) = 2x³ - 3x² - 11x + 6

Divisores del término independiente (6): p = 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
Divisores del coeficiente principal (2): q = 1, -1, 2, -2

Partiendo del coeficiente principal y del termino independiente del polinomio, determinaremos los divisores de cada uno de ellos.

Posibles raíces del polinomio:

p/q = 1, -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 3, -3, 3/2, -3/2, 6 y -6

El polinomio podría ser divisible por alguno de estos binomios:

(x - 1), (x + 1), (x + 1/2), (x - 1/2), (x -2), (x + 2), (x + 3), (x - 3),(x + 3/2), (x - 3/2), (x + 6) o (x - 6)

P(x):(x + 2) = C(x) es una división exacta, entonces podemos escribir a P(x) como P(x) = (x + 2).C(x), es decir:

P(x) = (x + 2).(2x² - 7x + 3)

C(x) = 2x² - 7x + 3

Las posibles raíces del polinomio se calculan dividiendo cada divisor del termino independiente (p) por todos los divisores del coeficiente principal (q)

Probamos hacer varias de esas divisiones, hasta encontrar una división exacta, es decir, que el resto sea igual a cero. Como los divisores son de la forma (x-a) podemos dividir haciendo uso del Método de Ruffini. (Queda en ustedes realizar la división y verificar los resultados).

C(x) es un falso trinomio, podemos factorizarlo usando dicho método pero a fines de aprender el método de Gauss repetiremos el proceso.

Divisores del término independiente (3): p = 1, -1, 3, -3

Divisores del coeficiente principal (2): q = 1, -1, 2, -2

Posibles raíces del polinomio:

p/q = 1, -1, 1/2, -1/2, 3, -3, 3/2 y -3/2

El polinomio podría ser divisible por alguno de estos binomios:

(x - 1), (x + 1), (x + 1/2), (x - 1/2), (x + 3), (x - 3), (x + 3/2), o(x - 3/2)

C(x):(x -3) es una división exacta, entonces podemos escribir a C(x) como C(x) = (x -3).(2x - 1)

Por lo tanto P(x) = 2x³ - 3x² - 11x + 6

P(x) = (x + 2).(2x² - 7x + 3)

P(x) = (x + 2).(x -3).(2x - 1)

Ejercicios: