MODULO O VALOR ABSOLUTO
Definición:
El valor absoluto o módulo de un número real x, denotado por |x| es igual a y su resultado siempre será:
Por ejemplo:
El valor absoluto de un número representa la magnitud de dicho número. Esta magnitud es la distancia que existe, sobre la recta numérica, del número dado al cero. Por ejemplo:
La distancia del -3 al 0 es de 3 unidades y la distancia del 3 al 0 también es de 3 unidades, siempre positivo porque no existen -3 unidades
Propiedades
El valor absoluto tiene las siguientes cuatro propiedades fundamentales
Considere a,b ∈ R entonces:
1) |a| ≥ 0 No-negatividad
2) |a|=0 ⟺ a=0 Definición positiva
3) |a.b|=|a|.|b| Propiedad multiplicativa
4) |a+b| ≤ |a|+|b| Desigualdad triangular
Otras dos propiedades que utilizan desigualdades son:
5) |a| ≤ b ⟺ −b ≤ a ≤ b
6) |a| ≥ b ⟺ −b > a o a ≥ b
Ecuaciones
Las ecuaciones con módulo se resuelven de la siguiente forma
Ejemplo:
3.|2x + 1| - 7 = 2
3.|2x + 1| = 2 + 7
3.|2x + 1| = 9
|2x + 1| = 9:3
|2x + 1| = 3
Primero despejamos el módulo
Una vez despejado el módulo, debemos separar la ecuación en dos partes considerando que lo que está dentro del modulo sea positivo o negativo, es decir:
Aplicando la definición:
2x + 1 = 3 si 2x+1 > 0
|2x + 1| =
2x + 1 = -3 si 2x+1 < 0
Y resolvemos 2x + 1 = 3 2x + 1 = -3
2x = 3 - 1 2x = -3 -1
2x = 2 2x = -4
x = 2/2 x = -4/2
x = 1 x = -2
Verificación:
Para x = 1 Para x = -2
3.|2.1 + 1| - 7 = 2 3.|2.(-2) + 1| - 7 = 2
3.| 2 + 1| - 7 = 2 3 . | -4 + 1| - 7 = 2
3.|3| - 7 = 2 3 . | -3 | - 7 = 2
3 .3 - 7 = 2 3 . 3 - 7 = 2
9 - 7 = 2 9 - 7 = 2
2 = 2 2 = 2
Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones:
Inecuaciones
Para resolver inecuaciones con módulo primero debemos despejar la parte con valor absoluto para luego aplicar propiedades.
Ejemplo 1)
|5x - 2| - 4 < 3x
Despejamos el valor absoluto
|5x - 2| < 3x + 4
-(3x + 4) < 5x - 2 < 3x + 4
-(3x + 4) < 5x - 2 y 5x - 2 < 3x + 4
-3x - 4 < 5x - 2 5x - 3x < 4 + 2
-3x - 5x < -2 + 4 2x < 6
-8x < 2 x < 6/2
x < -2/8 x < 3
x < -1/4
Ya despejado podemos aplicar las propiedades del valor absoluto para desigualdades
Separamos la doble inecuación en 2 inecuaciones separadas (Propiedad 5)
Resolvemos ambas inecuaciones
El conjunto solución es la intersección de ambas soluciones, es decir: Cs = (-∞ , -1/4)
Ejemplo 2)
|3x - 1| > 4
-4 > 3x -1 o 3x - 1 > 4
-4 + 1 > 3x 3x > 4 +1
-3 > 3x 3x > 5
-3/3 > x x > 5/3
-1 > x
Aplicamos la (propiedad 6) del valor absoluto para desigualdades
Resolvemos ambas inecuaciones
El conjunto solución es la unión de ambas soluciones, es decir: Cs = (-∞ , -1) U (5/3 , ∞)
Importante: A la hora de aplicar las propiedades se debe tener en cuenta la desigualdad, es decir:
-
Si el valor absoluto es |x| < a (menor que) separamos la inecuación en dos de la forma -a < x y x < a (Propiedad 5). Y cuando la expresión es y se intersecan los conjuntos solución de cada inecuación, es decir Cs = Cs1 ∩ Cs2
-
Si el valor absoluto es |x| > a (mayor que) separamos la inecuación en dos de la forma -a > x o x > a (Propiedad 6). Y cuando la expresión es o se unen los conjuntos solución de cada inecuación, es decir Cs = Cs1 U Cs2
Ejercicios
Resuelve las siguientes inecuaciones y determina el conjunto solución
Inecuación con doble valor absoluto
Para resolver inecuaciones con doble módulo debemos aplicar cuadrado en ambos miembros para eliminar el valor absoluto.
Ejemplo:
|x − 1| < 2|x − 3|
Aplicamos cuadrado en ambos miembros
Factorizamos
Agrupamos todo en un solo miembro
Aplicamos propiedad distributiva para eliminar paréntesis
Desarrollamos los trinomios
-3x² + 22x - 35 < 0
x² − 2x + 1 < 4x² − 24x + 36
x² − 2x + 1 < 4(x² − 6x + 9)
(x − 1)² < 4(x − 3)²
-3(x − 7/3)(x − 5) < 0
1) x − 7/3 > 0 y x − 5 > 0
x > 7/3 x > 5
Para que toda la expresión sea menor que 0, es decir negativa y como ya tenemos un factor negativo, el -3 entonces los paréntesis deben ser o ambos positivos o ambos negativos
Resolvemos cada inecuación por separado
Cs1 = (5 , ∞)
o
2) x − 7/3 < 0 y x − 5 < 0
x < 7/3 x < 5
Cs = (-∞ , 7/3) U (5 , ∞)
Cs2 = (-∞ , 7/3)
Ejercicios
Resuelve las siguientes inecuaciones y determina el conjunto solución
