Funcion Valor absoluto

Definición:

Una función valor absoluto es una función en rama del tipo y = a|x-h| + k donde:

h = desplazamiento horizontal

k = desplazamiento vertical

V = (h,k) vértice de la grafica

Si a > 0 entonces la grafica de la función se abre hacia arriba

Si a < 0 la grafica de la función se abrirá hacia abajo

Ejemplo:

Vamos a graficar la función y = |4-2x| - 1

Primero debemos llevarlo a la forma y= alx-hl + k; es decir:

y = |2 - 2x| - 1

y = |-2x + 4| - 1

y = |-2(x - 2)| - 1

y = |-2|.|x - 2| -1

Primero cambiaremos de lugar los términos dentro del valor absoluto respetando sus signos

Aplicamos la propiedad distributiva del valor absoluto con respecto al producto

El valor absoluto de -2 es 2, por lo tanto la función queda expresada como:

Debemos extraer el coeficiente lineal "-2" del valor absoluto, para ello 1ro debemos sacar factor común (-2)

y = 2.|x - 2| - 1

Según lo visto anteriormente podemos afirmar que el vértice de la grafica es V = (2,1) y como a=2 es positivo la grafica se abre hacia arriba. Pero para graficarla con exactitud debemos escribir la función en partes para x < h y para x > h

Si realizamos en cada rama propiedad distributiva y resolvemos un poco obtendremos dos funciones lineales con su dominio restringido por h:

y1 = -2x + 3 , x<2

y2 = 2x - 5 , x>2

Análisis de la función:

Dominio: El conjunto dominio de toda función valor absoluto esta compuesta por todos los reales, es decir: Dom f = lR

Imagen: La imagen la determina el valor de k, es decir: si a > 0 entonces la imagen será: Rgo f= [k,∞)

si a < 0 entonces la imagen será: Rgo f = (-∞,k)

En la función de la grafica anterior se observa que su imagen es: Rgo f = [-1,∞)

Vértice: Ya dijimos q es el punto con coordenadas V=(h,k) es decir, V(2,-1)

Eje de simetría: Es una recta vertical imaginaria determinada por "h" que divide la grafica en dos partes iguales. En nuestro ejercicio es x=2

Valor Mínimo o Máximo: Si a < 0 tendrá como Valor Máximo y=k, si a > 0 tendrá como Valor Mínimo y=k. En nuestro ejemplo, el Valor Mínimo es y=-1

Crecimiento: La función es decreciente en (-∞,2) y creciente en (2,∞)

Ordenada al origen o Intersección con el eje y: Al igual que en funciones anteriores debemos calcular f(0)

y = 2.|x - 2| - 1

y = 2.|0 - 2| - 1

y = 2.|-2| - 1

y = 2 . 2 - 1

y = 3

Reemplazamos la variable independiente "x" por cero

El valor absoluto de -2 es: l-2l = 2

Raíces o Ceros de la función: Son los valores de la variable independiente (x) que anulan la función, es decir y = 0

2.|x-2|-1 = 0

2.|x - 2| = 1

|x - 2| = 1/2

x-2 = 1/2 x-2 = -1/2

x= 1/2 + 2 x = -1/2 + 2

x= 5/2 x = 3/2

Para resolver una ecuación con valor absoluto primero debemos despejar dicho valor absoluto

Aplicamos la definición de valor absoluto

Positividad:

Los ceros determinan los intervalos de positividad:

La función es positiva en (-∞ , 3/2) U (5/2 , ∞) es decir, que para cualquier valor que le asignemos a la variable independiente "x" dentro de ese intervalo obtendremos como resultado un valor positivo de la variable dependiente "y"

La función es negativa en (3/2 , 5/2) es decir, que para cualquier valor que le asignemos a la variable independiente "x" dentro de ese intervalo obtendremos como resultado un valor negativo de la variable dependiente "y"

Ejercicios:

Grafica y analiza las siguientes funciones:

a) y = -3|x - 1| + 8

b) y = |x + 8| + 1

c) y = -|x - 1| + 8

d) y = 3|x + 8| + 1

e) y = |4x - 1|

f) y = - |2 - 2 x|

g) y = - |3x + 2| + 1