FUNCION RACIONAL
Definición
Una función racional genérica es una función en la forma f(x) = P(x)/Q(x) donde P(x) y Q(x) son polinomios y el grado de Q(x) > 0
Ejemplos:
La grafica de una funcion racional se denomina hiperbola
En este apartado analizaremos solo funciones racionales con denominador de grado 1 y numerador de grado cero como f(x) = 1/x o de grado 1 como g(x) = (x - 3)/(x + 1)
Análisis de la función
Dominio
Como no existe la división en cero, el dominio de toda función racional esta comprendido por todos los reales que no anulen el denominador.
Por ejemplo:
-
El dominio de f serán todos los reales menos el cero, es decir: Dom f = IR - {0}
-
El dominio de g serán todos los reales menos (-1), es decir: Dom g = IR - {-1}
Para determinar el dominio de una función racional, debemos averiguar que valores anulan denominador, para ello igualamos el denominador a cero
Determinar el dominio de h:
Igualamos el denominador a cero y despejamos x
Los valores x = 2 y x = -2 anulan el denominador, por lo tanto serán excluidos del dominio: Dom h = IR - {2, -2}
Asíntota vertical
Los valores que son excluidos del dominio son representados en la grafica como una asíntota vertical. Es una recta vertical imaginaria por la cual, la grafica de la función se acerca pero nunca la intercepta.
Las asíntotas de los ejemplos son:
A.V. de f: x= 0
A.V. de g: x=-1
A.V. de h: x1=-2 y x2=2
Asíntota horizontal
Dada la función f(x) = ax+b la asíntota horizontal será y = a/c
cx+d
Ejemplo 1:
f(x) = 3x+5
x+1
A.H.: y = 3
1
Y = 3
Ejemplo 2:
g(x) = 2
x+1
La función se puede escribir como: g(x) = 0x+2
x+1
A.H.: y = 0
1
y = 0
-
Rango
El rango de toda función racional esta compuesto por todos los reales menos los valores de la asíntota horizontal
-
Rango f = IR - {3}
-
Rango de g = IR - {0}
La función racional también puede escribirse en la forma donde:
-
La asíntota vertical intercepta al eje de las absisas en x = h
-
La asíntota horizontal intercepta al eje de las ordenadas en y = k
-
Si el numerador es negativo, a < 0 la función será creciente en todo su dominio y, si el numerador es positivo, a > 0 la función será decreciente en todo su dominio
Para llevar la función genérica f(x) = P(x)/Q(x) a esta forma debemos realizar la división de los polinomios.
Ejemplo:
Sea la función f(x) = 3x + 5 procederemos a dividir 3x+5 en x+1
x + 1
3x+5 l x+1
3x+3 3
(2)
La función estará dada por: f(x) = 2 + 3 donde la A.V= -1 y la A.H= 3
Grafica
Para graficar una función racional es necesario realizar una tabla de valores, pero primero es conveniente encontrar las asíntotas y asignarles valores a la variable independiente (x) que estén a la izquierda y a la derecha de la asíntota vertical.
Como ejemplo graficaremos la función vista anteriormente, dado que la asíntota vertical es x = -1 le asignaremos a la tabla de valores 3 valores menores a -1 y 3 valores mayores a -1
x + 1
Intersecciones con los ejes
Ordenada al origen: Calculamos f(0)
f(x) = 2 + 3 -----> f(0) = 2 + 3
x+1 0+1
f(0) = 5
Raíces o ceros: Igualamos f(x)=0
2 + 3 = 0 Despejamos "x"
x+1
2 = -3
x+1
2 = -3(x+1)
2 = -3x - 3
x = -5/3
Crecimiento: La función es decreciente en todo su dominio
Positividad:
-
La función es positiva en (-∞ , -5/3) U (-1 , ∞)
-
La función es negativa en (-5/3 , -1)
Ejercicios
Hallar dominio, rango, ecuaciones de las asíntotas , intersecciones con los ejes, crecimiento, positividad y grafica de las siguientes funciones.
