FUNCION EXPONENCIAL
Definicion:
Llamamos funcion exponencial a la funcion del tipo:
Es decir, toda funcion exponencial será una funcion de base b y exponente x, donde b es cualquier constante real mayor que cero y distinta de 1.
Ejemplo:
Ejemplo 2:
Como se observa en la grafica, la funcion g(x) se encuentra desplazada 3 unidades a la derecha de f(x) debido a que en el exponente de g(x) agregamos una constante (3) restando a la variable independiente x
Generalizando:
La funcion exponencial de la forma es una traslacion horizontal de la funcion generica
Observacion:
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Si en la funcion se observa una resta en el exponente, entonces la grafica se traslada hacia la derecha.
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Si en la funcion se observa una suma en el exponente, entonces la grafica se traslada hacia la izquierda.
Ejemplo 3:
La funcion de la forma es una traslacion vertical de la funcion gererica
Observacion:
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Si el termino independiente "k" es positivo, entonces la grafica se traslada hacia arriba.
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Si el termino independiente "k" es negativo, entonces la grafica se traslada hacia abajo.
Tambien observamos que viendo la grafica de la funcion h(x) de derecha a izquierda, notamos que esta se aproxima a y=1 pero nunca la intersecta, es decir, y=k es la Asintota Horizontal de dicha grafica.
De igual manera, en f(x) la grafica se aproxima a y=0, ya que su funcion no tiene termino independiente, es decir, k=0, por lo tanto, su Asintota Horizontal es y=0
Ejemplo 4:
Si a la funcion exponencial en su forma generica le agregamos un factor "a" que multiplique al termino exponencial quedando de la forma:
Observamos que:
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Si a > 0 la grafica de la funcion estará por ensima de su Asintota Horizontal y,
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si a < 0 la grafica de la funcion estará por debajo de su Asintota Horizontal.
Ejemplo 5:
Grafica y Analisis completo
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Para graficar una funcion exponencial es necesario realizar una tabla de valores, y para ello primero debemos determinar su dominio, toda funcion exponencial tiene como dominio al conjunto de los numeros reales, es decir. Dom = lR
Ejemplo:
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Asintota Horizontal: Como se observa en la grafica, el termino independiente de la ecuacion que define la funcion determina la A.H. esta es y=-2
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Crecimiento: La grafica de toda funcion exponencial será creciente o decreciente en todo su dominio, en este ejemplo la grafica es decreciente en todo su dominio.
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Intersecciones con los ejes
Interseccion con el eje y (Ordenada al origen): (Calculamos f(0))
Ya se resolvió en la tabla de valores; la ecuacion cuando x toma el valor cero es: y = -1
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Interseccion con el eje x (Ceros o raices): (Calculamos f(x)=0)
Nota: Repasar ecuacion exponencial
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Positividad: La funcion es positiva en (-∞ , -1)
La funcion es negatica en (-1 , ∞)
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Rango: El rango será determinado por la asintota horizontal; Rgo f = (-2,∞)
Ejercicios:
1) Hallar dominio, rango, ecuaciones de la asíntota horizontal , intersecciones con los ejes, crecimiento, positividad y graficar las siguientes funciones.
2) Hallar “m” para que la función corte al eje y en 3
3) Asociar cada una de las siguientes funciones con su grafico correspondiente:
