Funcion exponencial

Definición:
Llamamos función exponencial a la función del tipo:

Es decir, toda función exponencial será una función de base b y exponente x, donde b es cualquier constante real mayor que cero y distinta de 1.

Ejemplo 1)

Ejemplo 2)

Como se observa en la grafica, la función g(x) se encuentra desplazada 3 unidades a la derecha de f(x) debido a que en el exponente de g(x) agregamos una constante (3) restando a la variable independiente x

Generalizando:

La función exponencial de la forma

es una traslación horizontal de la función genérica

Observación:

Si en la función se observa una resta en el exponente, entonces la grafica se traslada hacia la derecha.
Si en la funcion se observa una suma en el exponente, entonces la grafica se traslada hacia la izquierda.

Ejemplo 3)

La funcion de la forma es una traslacion vertical de la funcion gererica

Observacion:

Si el termino independiente "k" es positivo, entonces la grafica se traslada hacia arriba.
Si el termino independiente "k" es negativo, entonces la grafica se traslada hacia abajo.

Tambien observamos que viendo la grafica de la funcion h(x) de derecha a izquierda, notamos que esta se aproxima a y=1 pero nunca la intersecta, es decir, y=k es la Asintota Horizontal de dicha grafica.

De igual manera, en f(x) la grafica se aproxima a y=0, ya que su funcion no tiene termino independiente, es decir, k=0, por lo tanto, su Asintota Horizontal es y=0

Ejemplo 4)

Si a la función exponencial en su forma genérica

le agregamos un factor "a" que multiplique al termino exponencial quedando de la forma:

Observamos que:

Si a > 0 la grafica de la función estará por encima de su Asíntota Horizontal y,
si a < 0 la grafica de la función estará por debajo de su Asíntota Horizontal.

Ejemplo 5:

Grafica y Analisis completo

Para graficar una funcion exponencial es necesario realizar una tabla de valores, y para ello primero debemos determinar su dominio, toda funcion exponencial tiene como dominio al conjunto de los numeros reales, es decir. Dom = lR

Ejemplo:

Asíntota Horizontal: Como se observa en la grafica, el termino independiente de la ecuación que define la función determina la A.H. esta es y=-2

Crecimiento: La grafica de toda función exponencial será creciente o decreciente en todo su dominio, en este ejemplo la grafica es decreciente en todo su dominio.

Intersecciones con los ejes

Intersección con el eje y (Ordenada al origen): (Calculamos f(0))

Ya se resolvió en la tabla de valores; la ecuación cuando x toma el valor cero es: y = -1

Intersección con el eje x (Ceros o raíces): (Calculamos f(x)=0)

Nota: Repasar ecuación exponencial

Positividad: La función es positiva en (-∞ , -1)

La función es negativa en (-1 , ∞)

Rango: El rango será determinado por la asíntota horizontal; Rgo f = (-2,∞)

Ejercicios

1) Hallar dominio, rango, ecuaciones de la asíntota horizontal , intersecciones con los ejes, crecimiento, positividad y graficar las siguientes funciones.

2) Hallar “m” para que la función corte al eje y en 3

3) Asociar cada una de las siguientes funciones con su grafico correspondiente: