ECUACIONES EXPONENCIALES
Definición
Se denomina ecuación exponencial aquella en la cual la incógnita aparece únicamente en los exponentes de potencias reales.
Ejemplo:
Métodos de resolución:
Podemos dividir las ecuaciones exponenciales en cuatro tipos:
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Ejemplo 1:
Primero debemos expresar ambos miembros como potencias de igual base.
Aplicamos propiedad uniforme y se cancelan las bases
Resolvemos la ecuacion que quedó con solo las potencias de la ecuación original
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Ejemplo 2: Aplicando factor comun
En una ecuación exponencial donde la incógnita se encuentra en el exponente de varios términos debemos agruparlas, para ello debemos separar las expresiones algebraicas que se encuentren como exponente. Si la expresión es una resta, debemos expresar ese termino como división de igual base; en el caso de una suma será como multiplicación de igual base.
Con únicamente la incógnita en el exponente, podemos aplicar factor común.
Resolvemos el paréntesis y despejamos.
Aplicamos cambio de base y cancelamos dichas bases.
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Ejemplo 3: Aplicacion de logaritmos en potencias de distinta base
Separamos los exponentes como producto de igual base
Aplicamos factor común.
Despejamos.
En este ejemplo, no podemos expresar cada miembro con igual base. Debemos aplicar propiedad uniforme, esto es aplicar logaritmo en ambos miembros.
Aplicamos propiedad de logaritmo con potencia. (La potencia multiplica al logaritmo)
Despejamos la incógnita y resolvemos la división en el miembro derecho.
Nota: Para aplicar factor común, las expresiones algebraicas en los exponentes deben ser lineales con coeficiente principal igual a 1 (x ± a)
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Ejemplo 4: Ecuacion exponencial cuadratica
El producto de exponentes podemos y debemos expresarlo como potencia de potencia.
Ya teniendo los términos con únicamente la incógnita como potencia, debemos sustituir por
Resolvemos la ecuación cuadrática (Ver ecuaciones cuadráticas)
Reemplazamos en las soluciones de "t" nuevamente por y resolvemos cada ecuación:
La 1ra ecuación se puede resolver haciendo cambio de base
La 2da ecuación no tiene solución (Si aplicamos logaritmo en ambos miembros, tendríamos log(-4) que no existe, por definición el valor dentro del logaritmo debe ser mayor que cero.
Ejercicios:
Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:
