ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
Definición
Una ecuación trigonométrica es una igualdad de dos expresiones algebraicas en la que las incógnitas forman parte de los argumentos de una o varias razones trigonométricas.
Ejemplo:
Resolver una ecuación trigonométrica es encontrar el valor o valores que hacen que la igualdad sea cierta. Así, la ecuación sen(x) = 1/2 tiene como solución x = π/6 o x = 30° y como la función seno es una función periódica de periodo 2π, podemos describir al conjunto de todas las soluciones como:
Solución 1) x = solución + 2kπ Es decir: π/6 + 2kπ, o bien x = 30° + k.360°
Solución 2) x = π - solución + 2kπ Es decir: π - π/6 + 2kπ
5π/6 + 2kπ, o bien x = 150° + k.360°, siendo k un número entero.
(Ver circulo trigonométrico)
Método de resolución:
Para resolver una ecuación trigonométrica es conveniente expresar todos los términos de la ecuación con el mismo arco (ángulo) y después reducirlo a una única razón trigonométrica. Veamos unos ejemplos.
Ejemplo 1:
Solución 1
Solución 2
Aplicamos la función inversa del seno: arcoseno
Calculamos arcoseno con la calculadora (2nd + sen + √3/2)
Despejamos la incógnita "x"
Conjunto Solución: x = 0ª + 2kπ y x = 1/3π + 2kπ, con k perteneciente a los enteros
Ejemplo 2:
Transformamos tan(x) en la razón sen(x)/cos(x)
Sumamos ambos términos
Convertimos el numerador en 1 ( relación pitagórica )
Despejamos cos(x)
Despejamos x
Por tratarse del coseno de un ángulo perteneciente al 1er cuadrante, este tiene 2 soluciones, en el 1er y en el 4to cuadrante (Ver circulo trigonométrico )
Cs = {1/3π + 2kπ y 5/3π +2kπ} con k perteneciente e a los enteros
1era solución 2da solución
Ejemplo 3:
Expresamos la ecuación en función de tangente: cotg (x) = 1/tg (x)
Unimos los términos: Común denominador = tg (x)
Reemplazamos T = tg (x) y resolvemos la ecuación cuadrática
Hacemos pasaje de termino del denominador: tg (x).0=0
Volvemos a reemplaza T = tg (x) y resolvemos ambas ecuaciones
Aplicamos la función inversa de tangente: arco tangente
Calculamos con la calculadora científica (2nd + tan + 3/2) y (2nd + tan + -1)
El periodo de la función tangente es de 1π o 180ª por lo tanto el conjunto solución es:
Cs = {x = 56ª + k.180ª y 315ª + kπ}, con k perteneciente a los enteros
Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones trigonometricas:
