TRIGONOMETRIA
Definicion
Etimológicamente, trigon significa triángulo, y metron, medida. Por lo tanto, la trigonometria, es la parte de la matematica que estudia la relacion entre los lados y los angulos de un triangulo.
Razones trigonometricas
Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos:
Todo triangulo rectangulo tiene un angulo recto (90°) y dos angulos agudos.
El lado opuesto al angulo recto se denomina Hipotenusa
Los dos lados que forman el angulo recto se denominan catetos (Ver Triangulo rectangulo)
-
Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo agudo al cual se hace referencia.
-
Cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo agudo al cual se hace referencia. Asi, pues, dado el triangulo rectangulo abc:
Razones trigonometricas fundamentales:
A partir de estos 3 lados, resultan 3 razones trigonometricas muy importantes:
sen α = Cateto opuesto = bc sen ß = Cateto opuesto = ac
Hipotenusa ab Hipotenusa ab
cos α = Cateto adyacente = ac cos ß = Cateto adyacente = bc
Hipotenusa ab Hipotenusa ab
tg α = Cateto opuesto = bc tg ß = Cateto opuesto = ac
Cateto adyacente ac Cateto adyacente bc
Nota: Como puedes observar, es muy importante el angulo al cual se hace referencia.
Con estas 3 razones trigonometricas, dados los datos de dos elementos de un triangulo rectangulo, ya sea, la medida de un angulo agudo y un lado, o 2 lados, podemos hallar todos los elementos restantes.
Ejemplo 1:
1) El primer paso siempre es identificar los datos.
Datos: Angulo α = 50°
Cateto opuesto = bc = 24cm
2) Expresamos las tres razones trigonometricas para detrminar cual nos sirve:
sen α = Cateto opuesto cos α = Cateto adyacente tg α = Cateto opuesto
Hipotenusa Hipotenusa Cateto adyacente
-
Como tenemos la medida del cateto opuesto, con la razon seno podremos hallar la medida de la hipotenusa:
sen 50° = 24 Con una calculadora cientifica calculamos sen 50° (sen + 50)
ab
0,766 = 24 Despejamos "ab"
ab
ab = 24 = 31,33cm
0,766
-
Y con la razon tangente podremos hallar la medida del cateto adyacente:
tg 50° = 24 Con una calculadora cientifica calculamos tg 50° (tan + 50)
ac
1,19 = 24 Despejamos "ac"
ac
ac = 24 = 20,14cm
1,19
Nota: Podemos verificar sabiendo que la medida de la hipotenusa siempre es mayor a la medida de los catetos. Y al mismo tiempo, la medida de la hipotenusa debe ser menor que la suma de las medidas de dichos catetos.
Hipotenusa > Cateto opuesto Hipotenusa > Cateto adyacente Hipotenusa < Cateto opuesto + Cateto adyacente
31,33 > 24 31,33 > 20,14 31,33 < 24 + 20,14
El angulo interno ß lo podemos calcular usando la propiedad de los angulos internos de un triangulo:
a + b + c = 180°
50° + ß + 90° = 180°
ß + 140° = 180°
ß = 180° + 140°
ß = 40°
Ejercicios:
Hallar la medida de los lados A y B de los siguientes triangulos rectangulos:
Funciones trigonometricas inversas:
Son funciones que anulan las razones trigonometricas fundamentales, es decir:
Nota: Estas funciones trigonometricas inversas se utulizan en ecuaciones trigonometricas, cuando la incognita es el angulo α
Ejemplo 2:
Datos: Cateto opuesto = 5cm
Cateto adyacente = 12 cm
Expresamos las tres razones trigonometricas para detrminar cual nos sirve:
sen α = Cateto opuesto cos α = Cateto adyacente tg α = Cateto opuesto
Hipotenusa Hipotenusa Cateto adyacente
Como tenemos el cateto opuesto y el adyacente, podemos usar tangente para determinar el angulo α:
tg α = 5
12
tg α = 0,416 En ambos miembros αplicamos la funcion inversa de tangente: arcotangente
quedando:
α = arctg 0,416 Calculamos arcotangente con la calculadora cientifica (2nd + tan + 0,416)
α = 23°
Nota: Para hallar la medida de la hipotenusa podemos usar la razon seno, o coseno, o el Teorema de Pitagoras
Ejercicios
1) Cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo, la sombra de un árbol mide 18 m. ¿Cuál es su altura?
2) Una escalera de tres metros se apoya sobre una pared. Si la distancia de la base con la escalera es de 1,2 m
¿Que angulo forma la escalera con el suelo? ¿A que altura llega la escalera?
3) De un triángulo isósceles conocemos su lado desigual, 18 m, y su altura, 10 m. ¿Cuánto miden sus ángulos?
4) Calcula la altura, h, de los siguientes triángulos:
5) Dos antenas de radio estan sujetas al suelo por cables tal como indica la figura. Calcula la longitud de cada uno de los tramos de cable y la distancia AE
6) Una escalera, para acceder a un tunel, tiene la forma y dimensiones que se muestra en la figura. Calcula a que profundidad se encuentra el tunel.
7) Los brazos de un compás, que miden 12 cm, forman un ángulo de 50°. ¿Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura?
8) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a=5 m y B=41.7°. Resolver el triángulo.
9) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b=3 m y B=54.6°. Resolver el triángulo.
10) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a=6 m y b=4 m. Resolver el triángulo.
11) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b=3 m y c=5 m. Resolver el triángulo.
12) Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
13) Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
14) Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70°.
15) Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
16) Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
