FIGURAS GEOMETRICAS
Definición
Las figuras geométricas planas son aquellas regiones cerradas por líneas no alineadas en un plano de dos dimensiones.
Clasificación
Estas figuras geométricas planas de clasifican principalmente en dos tipos dependiendo de si sus líneas curvas o rectas:
-
Polígonos: son las figuras geométricas planas delimitadas por el cruce de dos o más líneas rectas, con tres o más lados e igual cantidad de ángulos.
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Cónicas: son las figuras geométricas planas delimitadas por una línea curva, por ejemplo el círculo y la elipse.
Polígonos
La palabra polígono deriva del griego poli, que puede traducirse como “muchos”, y gono que es sinónimo de “ángulo”. Es la región del plano que se obtiene al interceptar al menos dos ángulos.
Clasificación:
Los polígonos se clasifican a su vez en distintos tipos según sus propiedades en base a los siguientes criterios:
A) Según la medida de sus lados y ángulos:
- Polígono regular: es aquel que puede inscribirse en una circunferencia pues todos sus ángulos y lados son iguales.
- Polígono irregular: en el cual sus lados no son de igual longitud y/o sus vértices no están contenidos en una circunferencia.
B) Según sus ángulos interiores:
- Polígono convexo: es aquel con ángulos interiores de menos de 180º y con todas sus diagonales (línea recta que une dos vértices no consecutivos) interiores.
- Polígono cóncavo: es aquel con al menos un ángulo interior de más de 180º y con alguna diagonal exterior.
C) Según su número de lados o ángulos:
Triángulo: Polígono con tres lados o ángulos.
Cuadrilátero: Polígono con cuatro lados o ángulos.
Pentágono: Polígono con cinco lados o ángulos.
Hexágono: Polígono con seis lados o ángulos.
Heptágono: Polígono con siete lados o ángulos.
Octágono: Polígono con ocho lados o ángulos.
Eneágono: Polígono con nueve lados o ángulos.
Decágono: Polígono con diez lados o ángulos.
Endecágono: Polígono con once lados o ángulos.
Dodecágono: Polígono con doce lados o ángulos.
Tridecágono: Polígono con trece lados o ángulos.
Tetradecágono: Polígono con catorce lados o ángulos.
Pentadecágono: Polígono con quince lados o ángulos.
Hexadecágono: Polígono con dieciséis lados o ángulos.
Heptadecágono: Polígono con diecisiete lados o ángulos.
Octadecágono: Polígono con dieciocho lados o ángulos.
Eneadecágono: Polígono con diecinueve lados o ángulos.
Icoságono: Polígono con veinte lados o ángulos.
Polígonos regulares
Elementos:
Lado (L): es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
Vértice (V): el punto de unión de dos lados consecutivos.
Centro (C): el punto central equidistante de todos los vértices.
Radio (r): el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
Apotema (a): segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
Diagonal (d): segmento que une dos vértices no contiguos.
Perímetro (P): es la suma de la medida de su contorno.
Ángulos de un polígono regular
Angulo central: Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono:
α = 360°
n (numero de lados)
Angulo interior: El ángulo interior de todo un polígono regular mide:
β = 180°. (n - 2)
n
La suma de los ángulos interiores de un polígono regular es de:
Σβ = 180° . (n - 2)
Angulo exterior: La suma de los ángulos exteriores de todo polígono regular es 360°
Por lo tanto cada ángulo exterior mide:
α = 360°
n
Construcción de polígonos regulares
Cualquier polígono regular puede graficarse a partir de la medida de su radio o de un lado.
Ejemplo 1: Dibujaremos un hexágono de radio r=4cm
- Dibujamos un segmento de 4 cm y graficamos una circunferencia
- Calculamos la medida del ángulo central y lo dibujamos:
α = 360° = 60°
6
- Medimos el arco ab con el compas y repetimos dicha medida en toda la circunferencia como se observa en la grafica.
- Por ultimo dibujamos los lados.
Ejemplo 2: Dibujaremos un pentágono de lado L=3cm
- Dibujamos un segmento de 3cm
- Calculamos la medida de un ángulo interior y lo graficamos como se muestra en la figura:
β = 180° . (5 - 2) = 108°
5
- Medimos un segundo lado y repetimos el proceso.
Diagonales
Anteriormente definimos una diagonal como el segmento que une dos vértices no contiguos. Para determinar el numero de diagonales en un vértice calculamos:
d = n - 3
Para calcular el numero de diagonales totales debemos aplicar la siguiente formula:
D = v. (n - 3)
2
Es el producto del número de diagonales de cada vértice por el número de vértices dividido en 2
Perímetro: Se define como la suma de las medidas de todos los lados de una figura.
Como un poligono regulra tiene todos sus lados iguales, podemos escribir el perimetro como:
Superficie: Para calcular la superficie de cualquier polígono regular, primero debemos calcular la superficie de un triangulo interior con base igual a un lado del polígono, y altura igual al apotema:
Sup ∆ = b x h = L x Ap
2 2
Teniendo la superficie de un triangulo solo nos falta multiplicarlo por el numero de lados del polígono, por lo tanto:
Sup = n . L x Ap
2
Observación: Como el perímetro se calcula multiplicando la medida de un lado por el numero de lados (Per=n.L) podemos reescribir la formula de su superficie como:
Sup = Per x Ap
2
Área y Perímetro
En los siguientes apartados estudiaremos mas en profundidad las propiedades de ciertas figuras irregulares como triángulos y cuadriláteros. Aquí solo quiero centrarme en el cálculo del perímetro y área de cualquier figura irregular (teniendo en cuenta que arriba ya vimos las figuras regulares)
Definición:
Arriba, ya definimos perímetro en la sección de figuras regulares, pero de todas maneras haremos un repaso de su definición:
Perímetro: Suma de la medida de todos los lados de una figura
Superficie: Región del espacio interno delimitado por los lados de una figura.
Área: Valor numérico que mide la superficie.
Fórmulas:
Triángulo
Cuadriláteros
Figuras regulares
Cónicas
Longitud = 2π.r
Áreas
Ejercicios
1) Clasifica los siguientes polígonos en cóncavos o convexos:
2) Contesta verdadero o falso:
a. No hay triángulos cóncavos
b. No hay cuadriláteros cóncavos
c. Un polígono puede tener todos sus ángulos mayores que 180º
d. Un hexágono puede tener dos ángulos mayores que el ángulo llano
3) Clasifica los siguientes poligonos en regulares o irregulares
4) Calcula y contesta:
a. ¿Cuánto mide el perímetro de un cuadrado de 15 cm de lado?
b. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuyo perímetro es de 160 m?
c. ¿Cuánto mide el perímetro de un pentágono regular de 12 cm de lado?
d. ¿Cuánto mide el lado de un pentágono regular cuyo perímetro es de 120 cm?
e. Pablo tiene una finca en forma de hexágono regular de 15 dam de lado. ¿cuánto le costará vallarla si el metro de valla cuesta $9?
5) Calcula la medida del ángulo central de cada uno de los polígonos regulares siguientes:
a. Triángulo
b. Cuadrado
c. Hexágono
d. Octógono
6) Construye un octógono y un cuadrado circular inscritos en una misma circunferencia.
7) Construye un eneágono de 5cm de radio y determina:
a. La medida de sus ángulos interiores
b. La suma de sus ángulos interiores
c. La medida de sus ángulos exteriores
d. El numero de diagonales por vértice
e. El numero de diagonales totales y grafícalas
8) Calcula la superficie de:
a. Un heptágono regular de 5,3cm de lado y apotema igual a 5,5cm
b. Un hexágono regular de 3cm de lado y apotema igual a 5,2cm
