INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRIA
El término Geometría proviene de las palabras griegas geo (tierra) y metron (medida); su origen se remonta al nacimiento de la civilización, cuando surgió la necesidad de medir las tierras en su forma más elemental, como calcular las áreas y perímetros de figuras planas, o volúmenes de cuerpos sólidos.
En la actualidad, el estudio de la Geometría se ha diversificado. Existen varias ramas de la geometría que estudian situaciones concretas. Así, tenemos la geometría plana o eucliliana; la geometria analítica, que es la conjugación del álgebra y la geometría plana y que se expresa por medio de sistemas de coordenadas; la trigonometría, que estudia la relacion entre los ángulos y los lados de los triángulo.
Geometria eucliliana:
Aproximadamente hace 2400 años, Euclides de Alejandría escribió "Los Elementos", un libro en donde Euclides recopiló aquellos resultados geométricos descubiertos hasta su época que consideró importantes. Actualmente se los conoce como"Geometria clasica" y es esl segundo libro mas leido del mundo despues de La Biblia. El ex presidente de Estados Unidos, Abraham Lincoln, estudió este libro para agudizar su mente y de verdad entender la deducción matemática. Incluso hoy en día, sigue siendo la base de lo que consideramos un primer curso en geometría.
La geometría eucliliana es una de las ramas de las matemáticas que más se ha distinguido por la claridad de sus enunciados y la sencillez de sus métodos. Es por ello que la geometría ofrece al alumno una visualización clara del método científico. Una de las tareas fundamentales de este apartado es la de enseñar al alumno a razonar de manera lógica. Es decir, enseñar al alumno a demostrar sus afirmaciones partiendo de conceptos y enunciados ya establecidos con anterioridad (algunos de los cuales se aceptan sin prueba alguna). Desde los tiempos de Euclides los resultados geométricos se obtenían mediante un proceso lógico (demostración) partiendo de enunciados (axiomas) que se denominan evidentes y que no requerían de demostración alguna.
Axiomas:
Los axiomas son enunciados o proposiciones que se aceptan intuituvamente, sin demostracion. Euclides seleccionó cinco postulados básicos para construir la geometría clasica, estos son:
1. Dos puntos determinan una única recta.
2. Dos rectas solo pueden tener un punto en comun.
3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
5. Dada una recta y un punto exterior a ella, hay una única recta que es paralela a la recta dada y que pasa por el punto.
Conceptos Basicos
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PUNTO: es un elemento geométrico adimensional, es decir, que no tiene dimension: no tiene longitud, área o volumen. se lo representa con letra minuscula.
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RECTA: Línea formada por una serie continua de infinitos puntos alineados en una misma dirección. Es un elemento geometrico unidimencional, es decir, que tiene longitud. Se la denota con letra mayuscula. En el ejemplo se observa la recta L que pasa por los puntos a y b.
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TIPOS DE RECTAS:
RECTAS PARALELAS
Son rectas que no se intersectan nunca.
RECTAS SECANTES
Son rectas que se intersectan en un único punto.
RECTAS PARALELAS
Son rectas secantes que forman 4 angulos de 90°
SEGMENTO: Dados dos puntos a y b, se llama segmento a la intersección de la semirecta ab y la semirecta ba.
Los puntos a y b se denominan extremos del segmento.
SEGMENTOS CONSECUTIVOS: Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en comun. Podemos clasificarlos en:
SEGMENTOS COLINEALES: Son dos segmentos consecutivos que estan contenidos en una misma recta
SEGMENTOS NO COLINEALES: Son dos segmentos consecutivos que no estan contenidos en una misma recta
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO: Es la recta perpendicular al segmento en su punto medio. Divide al segmento en dos partes iguales.
Para trazarla debemos graficar un arco con el compas desde ambos extremos y sus intersecciones determinan por donde graficar la mediatriz.
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SEMIRECTA: Es la porción de una línea recta que está compuesta por todos los puntos que se localizan hacia uno de los costados de un determinado punto fijo que se toma como referencia: esto quiere decir que una semirrecta tiene un origen (el punto que le da inicio) pero se extiende hacia el infinito. La recta, en cambio, no tiene ni comienzo ni final. En el ejemplo de la derecha se observa la semirecta ab: de origen a, que contiene al punto b
SEMIRECTAS OPUESTAS: Dos semirectas son opuestas si estas son colineales, es decir, están contenidas en una misma recta, y comparten solo el punto de origen.
ab ∩ bc=a La interseccion de la semirecta ab con la semirecta ac es el punto a
ab ∪ bc=L La union de las semirectas ab y ac es la recta L
PLANO: Es una superficie geométrica infinita, es decir, es un ente ideal bidimensional. Generalmente se lo denota con una letra griega.
Asi como en dos puntos se puede trazar una única recta, en tres puntos no alineados se puede trazar un único plano. O en una recta y un punto exterior a ella.
SEMIPLANO: Una recta contenida en el plano divide a éste en dos semiplanos.
Segun la grafica tenemos entonces:
El plano α es la union del semiplano que delimita en la recta R y contiene al punto a unido al semiplano que delimita en la recta R que contiene al punto b
La interseccion de ambos semiplanos es la recta R
ANGULO: Dadas dos rectas secantes L y R, y dos puntos a y b definidos en el plano ε podemos determinar cuatro semiplanos:
Delimitados por la recta L: y
Delimitados por la recta R: y
Angulo es toda area resultante de la interseccion de dos semiplanos:
Por lo tanto:
Ejercicios
1) Dibuja un punto y tres rectas que pasen por éste. ¿Cuantas rectas pueden pasar por un punto?
2) Dibuja y nombra una recta, una semirecta y un segmento.
3) Dibuja una recta R y el punto s exterior a ella. ¿Cuántas rectas paralelos a la recta R y que pasen por el punto s puedes trazar?
4) Completa las frases:
a) Si dos rectas que están situadas en un mismo plano y por mucho que se prolonguen nunca se cortan, se llaman rectas ………………………………………
b) Si dos rectas, al cortarse, forman cuatro ángulos iguales se llaman rectas ……………………
c) Si dos rectas, al cortarse, forman cuatro ángulos que son iguales dos a dos, se llaman rectas …………………………………………………
6) Con ayuda de regla y escuadra traza y nombra:
a) Dos rectas paralelas. b) Dos rectas perpendiculares. c) Dos rectas secantes.
7) De la siguiente grafica determina:
a) 2 rectas paralelas
b) 2 rectas secantes
c) 2 semirectas opuestas
d) 2 segmentos perpendiculares
e) 2 segmentos colineales
