Angulos

ANGULOS

Definición:

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Generalmente se los denota con una letra del alfabeto griego.

Alfabeto griego

α: alfa β: beta

γ. gamma δ: delta

ε: épsilon ζ: dseta

η: eta θ: theta

ι: iota κ: kappa

λ: lambda μ: mu

ν: ni ξ: xi

ο: ómicron π: pi

ρ: rho σ: sigma

τ: tau υ: ípsilon

φ: fi χ: ji

ψ: psi ω: omega

Elementos

Un ángulo está formado por:

Lados: Cada una de las dos semirrectas.

Dependiendo de como se lo mida serán lado inicial y lado terminal.

Vértice: Punto en el que coinciden las dos semirectas.
Amplitud: Es la abertura que hay entre los lados.

Como se observa en la grafica, otra forma de nombrar un ángulo es con los puntos pertenecientes a las semirectas y el vértice entre ellas. Asi:

En el primer ángulo su amplitud se mide desde la semirecta que contiene al punto b; con vértice en el punto a, hasta la semirecta que contiene al punto c.
En el segundo ángulo, su amplitud se mide desde la semirecta que contiene al punto c; con vértice en el punto a, hasta la semirecta que contiene al punto b.

Sistema sexagesimal

La amplitud de un ángulo puede medirse con el sistema sexagesimal, es uno de los tres sistemas que veremos en este apartado.

Definición: Un grado sexagesimal es el ángulo que se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes iguales.

Un grado sexagesimal tiene 60 minutos: 1°=60'

Un minuto sexagesimal tiene 60 segundos: 1'=60"

Así, podemos expresar una cantidad en grados, minutos y segundos, las partes de grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo.

Ejemplo: 12° 34′ 34″

13° 3′ 23,8″

124° 45′ 34,70″

-2° 34′ 10″

Ejercicio

Completa las siguientes tablas:

Medida de un angulo (Uso de transportador o cemicirculo)

Clasificación

Según su signo: Un ángulo cuya amplitud se mide en sentido antihorario se lo considera positivo. Si su amplitud es medido en sentido de las agujas del reloj, se lo considera negativo.

Segun su medida:

Bisectriz: Es una semirecta que divide al ángulo en dos partes iguales

Para graficar la bisectriz de un ángulo primero debemos marcar un arco de cualquier medida desde el vértice o.

Marcamos los puntos de intersección de dicho arco con las semirectas (puntos a y b)

Ubicando el compas en cada punto a y b marcamos dos arcos cuya intersección es el punto c

La bisectriz será la semirecta de origen en el vértice o que contiene al punto c.

Nota: Por la definición de bisectriz, podemos afirmar que β = ϒ = α/2

Operaciones

Suma

1. Se colocan las los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

2. Realizamos las transformaciones correspondientes (tanto en los minutos como segundos puedo tener un máximo de 59, si hay 60 o más hay que transformar; cada sesenta corresponde 1 del orden inmediato superior): En el ejemplo la suma da 84", por lo tanto restamos 60" y esos 60" que restamos los sumamos a los minutos, es decir, 1'

3. Repetimos el paso anterior para los minutos. La suma da 63' asique debemos restar 60' y sumar 1

Resta

1. Se colocan las los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

2. Se restan los segundos. Si el minuendo es menor que el sustraendo, restamos un minuto del minuendo y sumamos 60 segundos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

Ejemplo:

Producto

Multiplico por separado los minutos y los grados por 3. Luego si es necesario realizo las transformaciones necesarias en los minutos al igual que en la suma.

Ejemplo:

División

1. Dividimos los grados por el divisor

2. Si nos queda un resto, transformamos a éste en minutos multiplicándolo por 60

3. Sumamos los minutos y repetimos el proceso.

4. En el caso de tener resto en los segundos, podemos seguir dividiendo haciendo uso de decimales.

Notación decimal

Un número sexagesimal puede expresarse en forma decimal y viceversa.

Pasar de número sexagesimal a decimal:

1. Debemos transformar los segundos en minutos dividiendo estos por 60 (12": 60)

2. Sumamos el cociente a los minutos y dividimos este por 60 (34'+ 0,2') : 60

3. Sumamos el nuevo cociente a los grados (2°+ 0,57°)

Nota: Otro procedimiento es dividir los minutos por 60 y los segundos por 3600; y sumar ambos cocientes a los grados.

Pasar de número decimal a sexagesimal:

1. Debemos transformar la parte decimal en minutos multiplicando este por 602. La parte entera del producto serán los minutos y volvemos a multiplicar la parte decimal por 60 para transformar ésta en segundos.

Ejercicios

1) Clasifica los siguientes ángulos en cóncavos o convexos:

2) Nombra los siguientes angulos y clasifícalos segun su medida:

3) Graficar la bisectriz de los siguientes ángulos:

a) α=85° b) β=130° c) γ=240° d) 180°

Verifica las medidas de los ángulos formados con la bisectriz con uso del semicirculo

4) Realiza las siguientes operaciones:

Sumas:

a) 15° 22’ 30” + 8° 27’ 41”

b) 50’ 43” + 13’ 10”

c) 1° 44’ 11” + 5° 16’ 9”

d) 2° 7’ + 17° 49’ 54”

Restas:

a) 4° 11’ 17” − 1° 16’ 32”

b) 50’ 43” − 3’ 50”

c) 11° 44’ 11” − 5° 16’ 39”

d) 12° 7’ 55” − 7° 49’ 54”

Productos:

a) 14° 21’ 7” x 5

b) 50’ 43” x 6

c) 9° 30’ 10” x 8

d) 2° 7’ 55” x 12

Divisiones:

a) 44° 21’ 37” : 5

b) 50’ 43” : 6

c) 39° 3’ 40” : 3

d) 42° 17’ 55” : 12

5) Pasa los siguientes ángulos sexagesimales a notación decimal

a) 4° 35' 25" b) 10' 50"

c) 18° 20' 45" d) 35° 30"

6) Pasa los siguientes números al sistema sexagesimal

a) 48,16° b) 112,08°

c) 1200,5' d) 27,63°

Como dijimos anteriormente, el sistema sexagesimal es uno de tres que se pueden utilizar para medir la amplitud de un angulo, los otros dos sistemas son el sistema radial y el centesimal:

Sistema radial

Definición:

Un radián es la medida del ángulo con vértice en el centro de un círculo de radio r, cuyos lados determinan sobre la circunferencia un arco AB de longitud igual al radio.

Como se observa en el circulo angular, un rad equivale a aproximadamente 57°, y π rad equivale a 180°..

Para pasar de un sistema a otro debemos aplicar una regla de tres simple.

Ejemplo: Pasar π/4 rad a grados.

Como sabemos que π rad = 180° utilizaremos siempre esta equivalencia en nuestras reglas de tres simple, por lo tanto:

π rad ____________ 180°

π/4 rad __________ x

y resolvemos:

x = π/4 rad . 180°

π rad

x = 45°

Ejemplo 2: Pasar 60° a radianes

180° ____________ π rad

60° ____________ x

x = 60° . π rad

180°

x = 1/3 π rad

Simplificamos los π y las unidades de los radianes quedando 1/4 . 180°

Simplificamos los grados y resolvemos 60/180

Sistema Centesimal

Definición:

Un grado centesimal, también llamado gradián es el ángulo que se obtiene al dividir la circunferencia en 400 partes iguales. Su símbolo es una "g" minúscula en superíndice colocada tras la cifra.

Ejemplo:

Un grado centesimal tiene 100 minutos:

Un minuto centesimal tiene 100 segundos: