ANGULOS
Definicion:
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Generalmente se los denota con una letra del alfabeto griega.
α: alfa β: beta γ. gamma δ: delta ε: épsilon ζ: dseta
η: eta θ: theta ι: iota κ: kappa λ: lambda μ: mi
ν: ni ξ: xi ο: ómicron π: pi ρ: rho σ: sigma
τ: tau υ: ípsilon φ: fi χ: ji ψ: psi ω: omega
Elementos
Un ángulo está formado por:
-
Lados: Cada una de las dos semirrectas.
Dependiendo de como se lo mida serán lado inicial y lado terminal.
-
Vértice: Punto en el que coinciden las dos semirectas.
-
Amplitud: Es la abertura que hay entre los lados.
Como se observa en la grafica, otra forma de nombrar un angulo es con los puntos pertenecientes a las semirectas y el vértice entre ellas. Asi:
En el primer angulo su amplitud se mide desde la semirecta que contiene al punto b; con vertice en el punto a, hasta la semirecta que contiene al punto c. En el segundo angulo, su amplitud se mide desde la semirecta que contiene al punto c; con vertice en el punto a, hasta la semirecta que contiene al punto b.
Sistema sexagesimal
La amplitud de un angulo puede medirse con el sistema sexagesimal, es uno de los tres sistemas que veremos en este apartado.
Definicion: Un grado sexagesimal es el ángulo que se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes iguales.
Un grado sexagesimal tiene 60 minutos: 1°=60'
Un minuto sexagesimal tiene 60 segundos: 1'=60"
Asi, podemos expresar una cantidad en grados, minutos y segundos, las partes de grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo.
Ejemplo: 12° 34′ 34″
13° 3′ 23,8″
124° 45′ 34,70″
-2° 34′ 10″
Ejercicio
Completa las siguientes tablas:
Medida de un angulo (Uso de transportador o cemicirculo)
Clasificación
-
Segun su signo: Un angulo cuya amplitud se mide en sentido antihorario se lo considera positivo. Si su amplitud es medido en sentido de las agujas del reloj, se lo considera negativo.
-
Segun su medida:
Bisectriz: Es una semirecta que divide al angulo en dos partes iguales
-
Para graficar la bisectriz de un angulo primero debemos marcar un arco de cualquier medida desde el vertice o.
-
Marcamos los puntos de interseccion de dicho arco con las semirectas (puntos a y b)
-
Ubicando el compas en cada punto a y b marcamos dos arcos cuya interseccion es el punto c
-
La bisectriz será la semirecta de origen en el vertice o que contiene al punto c.
Nota: Por la definicion de bisectriz, podemos afirmar que β = ϒ = α/2
Operaciones
Suma
1. Se colocan las los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.
2. Realizamos las transformaciones correspondientes (tanto en los minutos como segundos puedo tener un máximo de 59, si hay 60 o más hay que transformar; cada sesenta corresponde 1 del orden inmediato superior): En el ejemplo la suma da 84", por lo tanto restamos 60" y esos 60" que restamos los sumamos a los minutos, es decir, 1'
3. Repetimos el paso anterior para los minutos. La suma da 63' asique debemos restar 60' y sumar 1
Resta
1. Se colocan las los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.
2. Se restan los segundos. Si el minuendo es menor que el sustraendo, restamos un minuto del minuendo y sumamos 60 segundos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.
Ejemplo:
Producto
Multiplico por separado los minutos y los grados por 3. Luego si es neceseario realizo las transformaciones necesarias en los minutos al igual que en la suma.
Ejemplo:
Division
1. Dividimos los grados por el divisor
2. Si nos queda un resto, transformamos a éste en minutos multiplicandolo por 60
3. Sumamos los minutos y repetimos el proceso.
4. En el caso de tener resto en los segundos, podemos seguir dividiendo haciendo uso de decimales.
Notación decimal
Un número sexagesimal puede expresarse en forma decimal y biceversa.
Pasar de número sexagesimal a decimal:
1. Debemos transformar los segundos en minutos dividiendo estos por 60 (12": 60)
2. Sumamos el cociente a los minutos y dividimos este por 60 (34'+ 0,2') : 60
3. Sumamos el nuevo cociente a los grados (2°+ 0,57°)
Nota: Otro procedimiento es dividir los minutos por 60 y los segundos por 3600; y sumar ambos cocientes a los grados.
Pasar de número decimal a sexagesimal:
1. Debemos transformar la parte decimal en minutos multiplicando este por 60
2. La parte entera del producto serán los minutos y volvemos a multiplicar la parte decimal por 60 para transformar ésta en segundos.
Ejercicios
1) Clasifica los siguientes angulos en concavos o convexos:
2) Nombra los siguientes angulos y clasifícalos segun su medida:
3) Graficar la bisectriz de los siguientes angulos:
a) α=85° b) β=130° c) γ=240° d) 180°
Verifica las medidas de los angulos formados con la bisectriz con uso del semicirculo
4) Realiza las siguientes operaciones:
Sumas:
a) 15° 22’ 30” + 8° 27’ 41” b) 50’ 43” + 13’ 10”
c) 1° 44’ 11” + 5° 16’ 9” d) 2° 7’ + 17° 49’ 54”
Restas:
a) 4° 11’ 17” − 1° 16’ 32” b) 50’ 43” − 3’ 50”
c) 11° 44’ 11” − 5° 16’ 39” d) 12° 7’ 55” − 7° 49’ 54”
Productos:
a) 14° 21’ 7” x 5 b) 50’ 43” x 6
c) 9° 30’ 10” x 8 d) 2° 7’ 55” x 12
Divisiones:
a) 44° 21’ 37” : 5 b) 50’ 43” : 6
c) 39° 3’ 40” : 3 d) 42° 17’ 55” : 12
5) Pasa los siguientes angulos sexagesimales a notacion decimal
a) 4° 35' 25" b) 10' 50" c) 18° 20' 45" d) 35° 30"
6) Pasa los siguientes números al sistema sexagesimal
a) 48,16° b) 112,08° c) 1200,5' d) 27,63°
Como dijimos anteriormente, el sistema sexagesimal es uno de tres que se pueden utilizar para medir la amplitud de un angulo, los otros dos sistemas son el sistema radial y el centesimal:
Sistema radial
Definicion:
Un radián es la medida del ángulo con vértice en el centro de un círculo de radio r, cuyos lados determinan sobre la circunferencia un arco AB de longitud igual al radio.
Como se observa en el circulo angular, un rad equivale a aproximadamente 57°, y π rad equivale a 180°..
Para pasar de un sistema a otro debemos aplicar una regla de tres simple.
Ejemplo: Pasar π/4 rad a grados.
Como sabemos que π rad = 180° utilizaremos siempre esta equivalencia en nuestras reglas de tres simple, por lo tanto:
π rad ____________ 180°
π/4 rad __________ x
y resolvemos:
x = π/4 rad . 180° Simplificamos los π y las unidades de los radianes quedando 1 . 180°
π rad 4
x = 45°
Ejemplo 2: Pasar 60° a radianes
180° ____________ π rad
60° ____________ x
x = 60° . π rad Simplificamos los grados y resolvemos 60/180
180°
x = 1/3 π rad
Sistema Centesimal
Definicion:
Un grado centesimal, también llamado gradián es el ángulo que se obtiene al dividir la circunferencia en 400 partes iguales. Su símbolo es una "g" minúscula en superíndice colocada tras la cifra. Ejemplo:
Un grado centesimal tiene 100 minutos:
Un minuto centesimal tiene 100 segundos:
Como se observa en el circulo angular, 100 gradianes equivalen a 90°, 200g equivalen a 180° y 400g son 360°
Como ya mencionamos anteriormente, para pasar de un sistema a otro debemos aplicar una regla de tres simple.
Ejemplo: Pasar 60 gradianes a grados.
Como sabemos que 100g = 90° utilizaremos siempre esta equivalencia en nuestras reglas de tres simple, por lo tanto:
100g ____________ 90°
60g __________ x
y resolvemos: x = 60g . 90° Simplificamos las unidades de los gradianes 100g
x = 54°
Ejercicios
