FUNCION LOGARITMICA
Definición:
Una función logarítmica es toda función donde la variable independiente forme parte del argumento de un logaritmo; genéricamente se expresa como:
Nota: Antes de avanzar con el tema recomiendo repasar la definición y las propiedades de Logaritmo .
Grafica y Análisis Completo:
Al igual que para una función exponencial, graficar una función logarítmica mediante una tabla de valores es la mejor opcion:
Ejemplo 1)
En toda funcion para graficar haciendo uso de una tabla de valores, debemos asignarle valores a la variable independiente (x) y calcular los resultados de la variable dependiente (y). Pero en este caso en particular resulta complicado hacerlo de la misma forma, puede hacerse, pero es conveniente "aplicar definicion de logaritmo" esta es:
Trabajaremos con la segunda igualdad, asignandole valores a la variable dependiente (y) y encontrando los resultados de la variable dependiente (x)
Dominio: Dado que el argumento del logaritmo debe ser mayor que cero, esta condición determinará el conjunto dominio, en el ejemplo x>0, por lo tanto: Dom f = (0 , ∞)
Asíntota Vertical: Viendo la grafica de derecha a izquierda notamos claramente que esta se acerca al eje de las ordenadas (y) sin interceptarla, por esta razón, la recta que corta al eje x en cero es una asíntota vertical, es decir A.V: x=0
Crecimiento: La función es creciente en todo su dominio.
Intersección con los ejes:
-
Intersección con el eje y: Calculamos f(0)
Como x=0 no pertenece al dominio de la función, f(0) no existe, es decir, la grafica no intercepta al eje de las ordenadas.
-
Intersección con el eje x - Ceros o Raíces: Calculamos f(x)=0
Reemplazo la variable dependiente "y" por y=0
Aplico definicion de logaritmo
Rango: El rango de toda función logarítmica es el conjunto de todos los reales, es decir: Rgo f = lR
Ejemplo 2)
De igual forma que en el ejemplo anterior, para realizar una tabla de valores, aplico la definicion de logaritmo.
Trabajamos con la segunda igualdad y despejamos la variablde independiente x
Le asignamos valores a la variable dependiente "y"
Dominio: El argumento del logaritmo es x+2, por lo tanto x+2 > 0 --> x > -2: Dom f = (-2 , ∞)
Asíntota Vertical: En este ejemplo se puede observar mas claramente que la asíntota vertical es A.V: x=-2
La grafica es la misma que en el ejemplo anterior con un desplazamiento de 2 unidades hacia la izquierda, generalizando:
"Dada la función logarítmica el valor de h representa un desplazamiento horizontal y la A.V = h"
Intersección con los ejes:
-
Intersección con el eje y: Calculamos f(0)
-
Intersección con el eje x - Ceros o Raíces: Calculamos f(x)=0
Igualo la funcion a y=0
Aplico definicion de logaritmo
Despejo la variable x
Rango: El rango de toda función logarítmica es el conjunto de todos los reales, es decir: Rgo f = lR
Ejemplo 3)
Observa que la grafica es similar que la del ejemplo 1 con un desplazamiento de 1 unidad hacia arriba, generalizando:
"Dada la función logarítmica el termino independiente k representa un desplazamiento vertical"
Mas ejemplos:
Como se observan en los ejemplos, las graficas de las funciones logarítmicas pueden ser muy variadas, pueden ser crecientes o decrecientes (dependiendo del signo del logaritmo o si su base es mayor o menor que uno) y su dominio pueden ser los reales positivos o negativos (dependiendo del signo de la variable independiente x); por esta razón recomiendo que los primeros pasos para analizar la función deben ser encontrar el conjunto dominio y determinar la Asíntota Vertical.
Ejercicios
1) Hallar el dominio de las siguientes funciones:
a) f(x) = log x b) f(x) = log(x+3) - 2
c) f(x) = ln(x-1) + 5 d) f(x) = ln (x²)
e) f(x) = ln(x²+2x+3) f) f(x) = log(x²-1)
g) f(x) = log[(x-1)²-4] h) f(x) = log(x) + log(x+3)
2) Hallar dominio, rango, ecuaciones de la asíntota vertical , intersecciones con los ejes, crecimiento, positividad y graficar las siguientes funciones.
3) Hallar m para que la función corte al eje x en -2
a) y = log (x+m) b) y = log (x-m-2)
4) Asociar cada una de las siguientes funciones con su grafico correspondiente:
a) y = log(x+1) + 2
b) y = log(x+2) - 1
c) y = log(x-2) + 1
5) Dada la funcion f(x) = log(x-h) + k, hallar "h" y "k" en cada caso:
