INECUACION
Definición:
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la cual los miembros se encuentran relacionados por los signos < (menor que), ≤ (menor o igual que), > (mayor que) o ≥ (mayor o igual que).
Por ejemplo:
1er miembro 2do miembro
3 x - 2 < 9
Para resolver dichas inecuaciones es importante tener en cuanta algunas propiedades fundamentales:
Propiedades
Transitividad
Dado a, b, c perteneciente al conjunto de números reales:
Si a < b y b < c entonces a < c
Ejemplo:
Sean a = 3, b = 5 y c = 10;
3 < 5 y 5 < 10 entonces
3 < 10
Adición y sustracción
Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número se obtiene otra desigualdad del mismo sentido
Dado a, b, c perteneciente al conjunto de números reales:
Si a < b entonces
a + c < b + c
Ejemplo:
Sean a = 3, b = 5 y c = 2;
3 < 5
3+2 < 5+2
5 < 7
Si a < b entonces
a - c < b - c
Ejemplo:
Sean a = 3, b = 5 y c = 2;
3 < 5
3-2 < 5-2
1 < 3
Multiplicación y división
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número positivo se obtiene otra desigualdad equivalente a la primera
• Dado a, b, c perteneciente al conjunto de números reales con c > 0
Si a < b entonces
a.c < b.c
Ejemplo:
Sean a = 3, b = 5 y c = -2;
3 < 5
3.2 < 5.2
6 < 10
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número negativo la desigualdad cambia de sentido.
• Dado a, b, c perteneciente al conjunto de números reales con c < 0
Si a < b entonces
a.c > b.c
Ejemplo:
Sean a = 3, b = 5 y c = -2;
3 < 5
3.(-2) > 5.(-2)
-6 > -10
Intervalos
Al resolver una inecuación, debemos definir el conjunto solución Cs con intervalos:
Este intervalo se llama cerrado y representa todos los números comprendidos entre a y b incluidos a y b.
Este intervalo se llama abierto y representa todos los números comprendidos entre a y b excluidos a y b.
Este intervalo se llama abierto a la izquierda y representa todos los números comprendidos entre a y b excluido a e incluido b.
Este intervalo se llama abierto a la derecha y representa todos los números comprendidos entre a y b incluido a e excluido b.
Este intervalo se llama semirrecta cerrada y representa todos los números mayores o iguales que a.
Este intervalo se llama semirrecta abierta y representa todos los números mayores que a.
Inecuación de 1er grado:
Resolver una inecuación de 1er grado es prácticamente igual a como se resuelven las ecuaciones, siempre y cuando tengamos bien presentes las propiedades antes vistas.
Ejemplo 1)
3x + 1 > 2x + 5
3x - 2x > 5 - 1
x > 4
Cs = (4, ∞ )
Cs = ] 4, ∞ [
Observación: Para los intervalos puede usarse tanto paréntesis ( ) como corchetes invertidos ] [ en los extremos abiertos.
Juntamos los términos semejantes en cada miembro, en este caso juntamos los términos con la incógnita a la izquierda y los términos independientes a la derecha
Verificación:
Si tomamos cualquier valor del conjunto solución debería cumplirse la desigualdad:
Para x=5
3x + 1 > 2x + 5
3.5 + 1 > 2.5 + 5
15 + 1 > 10 + 5
16 > 15
Nota: En este caso no podemos tomar el 4 porque el intervalo es abierto, es decir, no toma al número 4
Ejemplo 2)
2x − 3 > 12x + 32
2x − 12x > 32 + 3
-10x > 35
x < 35
-10
x < -3,5
Observa como la desigualdad cambió de sentido al dividir por un número negativo
Cs = (-∞ , -3,5]
Ejercicios:
1) Resuelve las siguientes inecuaciones, grafica el intervalo y determina su conjunto solución Cs.
a) 3x + 7 > 5 - 2x - 4
b) 12 - 8x - 9 > x - 6 - 4x
c) 2x - 7 - 5x < 3 - x
d) 10x + 6 - 8x - 4 < 5 - 3x + 12x
e) 2(1 - x) + 9 < 3 - (2x + 5)
f) 4x - (x + 2) < 3x + 6
g) 5x - (3 - 2x) + 8 > 9 + 3(2x - 4)
h) 3x - 2(4 - 2x) > 5x - (7x + 9)
2) Resuelve los siguientes problemas.
a) En una fiesta, Olga, Begoña y Salvador hablan de la edad que tienen. Sabemos que la suma de las edades de los tres es inferior a 85 años, que Begoña tiene el doble de años que Olga y que Salvador tiene 15 años más que Begoña. ¿Podrías decir si la persona más joven es ya mayor de edad?
b) La familia Sánchez quiere ir de viaje. Por eso se han puesto en contacto con dos agencias de viaje. La agencia Salimos cobra 75 euros más 0,50 euros por kilómetro y la agencia Marchamos cobra 95 euros más 0,40 euros por kilómetro.
1) ¿A partir de cuántos kilómetros resulta más barata la agencia Salimos?
2) Para hacer un viaje de 350 km, ¿Qué agencia es la más rentable? ¿Y para hacer un viaje de 480 km?
c) El lado desigual de un triángulo isósceles tiene 8cm. Determina la medida de uno de los otros dos lados si el perímetro tiene que ser mayor de 20 cm.
d) Si al triple de un número le restamos diez unidades, resulta mayor que si al doble de este número le sumamos cuatro. ¿Qué números verifican este enunciado?
e) El doble de la suma de un número más tres unidades es más grande que el triple de este número más seis unidades. ¿De qué número se trata?
f) La suma de la mitad y la cuarta parte de un número es más pequeña o igual que el triple de este número menos seis unidades. Encuentra la solución de esta inecuación.
g) Mónica ha ido a la papelería y ha comprado un cuaderno con espiral para la clase de matemáticas, un bolígrafo que vale la cuarta parte del precio del cuaderno y una escuadra para dibujar que cuesta 1,50 euros. En casa le dan una paga de 12 euros. Sabemos que ha gastado menos de las 3 2 partes. ¿Qué podrías decir del precio del cuaderno de Matemáticas?
h) El lado de un rectángulo tiene 20 cm y el otro x cm. Determina la medida de x para que el área del rectángulo sea inferior a 104 cm2 .
i) Un club de tenis cobra a sus socios una cuota mensual de 36 euros, la cual les da derecho a disfrutar de las instalaciones y jugar al tenis tantas horas al mes como deseen. Un jugador que no sea socio tiene que pagar 4,50 €/h por utilizar las instalaciones. ¿Cuántas horas mensuales tendrá que jugar una persona para que le salga más rentable hacerse socia del club?
j) La encargada de una tienda mezcla café de Colombia de 3,60 €/kg con café de Brasil de 4,30 €/kg. Pretende conseguir un café de calidad intermedia que no supere los 4 €/kg. Si necesita producir 60 kg de mezcla, ¿qué condiciones tienen que cumplir los pesos de las dos clases de café que mezcla?