VECTOR
Definición
Un vector es un ente algebraico o geométrico que representa una magnitud con dirección y sentido, típicamente graficado en un plano bidimensional o tridimensional y se denota como v = (x, y) en el caso de estar en el plano bidimensional donde (x, y) es el punto final del segmento, o como v = (x, y, z) en el caso de estar en un plano tridimensional
Se caracteriza por constar de los siguientes elementos:
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Dirección: es la recta sobre la que se plantea el vector, la cual es continua e infinita en el espacio.
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Sentido: viene representado por la punta de la flecha que se expresa gráficamente, indicando el lugar hacia el cual se dirige el vector.
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Módulo: se trata de la longitud entre el inicio y fin del vector, es decir, dónde empieza y dónde termina la flecha.
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Amplitud: es la expresión numérica de la longitud gráfica del vector.
-
Punto de aplicación: se refiere al lugar geométrico en el que inicia el vector a nivel gráfico.
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Nombre: es la letra que acompaña al vector que se representa gráficamente, coincidiendo con la magnitud o con la suma del punto de aplicación y el fin de su valor.
Nota: En este apartado nos enfocaremos sólo en los vectores bidimensionales.
Vector entre dos puntos
Dado el par ordenado asociado al punto A = (ax , ay) y el par ordenado asociado al punto B = (bx , by), el vector formado por esos dos puntos será: AB = (bx - ax , by - ay)
Ejemplo:
Sean los puntos P = (0,1) y Q =(2,2) entonces:
PQ = (2-0 , 2-1)
PQ = (2 , 1)
Vector Canónico:
Un vector canónico es un vector unitario (cuyo modulo igual a una unidad) colineales al eje x o y es decir:
i = (1, 0) paralelo al eje x
j = (0, 1) paralelo al eje y
Los vectores se pueden escribir principalmente mediante sus componentes. Aquí están las formas más comunes:
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Forma de Componentes (Cartesianas) o rectangular: Especifica las proyecciones del vector en los ejes: v = (x0, y0)
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Forma canónica o Vector Unitarios (i,j): Utiliza vectores unitarios estándar: v = x0 i + y0 j
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Forma Polar o Magnitud-Dirección: Define el vector por su longitud r=|v| y el argumento (ángulo θ) que forma con el eje horizontal positivo: v = (r, θ)
Ejemplo:
Forma de componentes: u = (5, -3)
Forma de componentes: u = 5i -3j
Forma Polar: u = (5,83 , 329,04º)
De la forma rectangular o de componentes a la forma polar
Para hallar la forma polar a partir de las otras dos formas debemos:
-
Hallar el modulo haciendo la distancia de dos puntos:
-
Para hallar el ángulo θ debemos calcular la tangente del ángulo, es decir:
tg θ = Cat Op
Cat Ady
tg θ = -3
5
θ = arctg -0.6
θ = arctg -0.6
θ = -30,96º
θ = -30,96º + 360º
θ = 329,04º
Ver Trigonometría
De la la forma polar a la forma rectangular o de componentes
Para hallar las componentes teniendo la forma polar debemos calcular:
-
Cos θ = Cat Adyacente
hipotenusa
Cos 329,04º = x
5,83
0,85 = y
5,83
y = 5
-
Sen θ = Cat Opuesto
hipotenusa
Sen 329,04º = y
5,83
- 0,51 = y
5,83
y = -3
Operaciones
Suma
Sean los vectores u = ai + bj y v = ci + dj entonces:
u + v = (a + c)i + (b + d)j
Ejemplo: u = 2i + 3j y v = 4i - 7j
u + v = (2 + 4)i + (3 + (-7))j
u + v = 6i -4j
Método del paralelogramo
Para sumar dos o mas vectores de manera grafica podemos usar el método del paralelogramo que consiste en trasladar con uso de regla y escuadra cada vector al punto final del otro, es decir: Siguiendo la grafica, en el punto final de V2 graficamos un vector paralelo a V1 y en el punto final de V1 graficamos un vector paralelo a V2. La unión de esos nuevos 2 vectores (dibujados con línea de puntos) nos indican la posición final del vector resultante R
Producto
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
Sea u un vector de la forma u = ai + bj y sea k un escalar tal que k ∈ R entonces:
k.u = k.(ai + bj) = kai + kbj
Ejemplo:
2. (4i - 7j) = 8i - 14j
Método grafico
Prolongamos una recta en dirección al vector, con un compas medimos el largo del vector y marcamos sobre la recta tantas veces como sea k. Si k es positivo, marcamos sobre la recta con mismo sentido al vector, y si k es negativo marcamos sobre la recta con sentido contrario.
Ejemplos: 2u = 2. (4i - 7j) = 8i - 14j
-u = - (4i - 7j) = -4i + 7j
Nota: -u es el opuesto de u
RESTA
Una resta de vectores es una suma de un vector mas el opuesto del otro, es decir:
Sean los vectores u = (a , b) y v = (c + d) entonces:
u - v = (ai + bj) + [-(ci + dj)]
= ai + bj - ci - dj
= (a - c)i + (b - d)j
Gráficamente se observa como en el extremo de u se dibuja el opuesto de v y la resultante es el vector que nace en el origen de u hasta el extremo del opuesto de v
Propiedades
Sean 𝐮, 𝐯, y 𝐰 vectores en un plano; y sea r y s escalares entonces:
𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮
(𝐮 + 𝐯) + 𝐰 = 𝐮 + (𝐯 + 𝐰)
1.𝐮 = 𝐮
𝐮 + 0 = 𝐮
v.𝑟.(𝑠.𝐮) = (𝑟.𝑠).𝐮
𝐮 + (−𝐮) = 0
(𝑟 + 𝑠).𝐮 = 𝑟.𝐮 + 𝑠.𝐮
0.𝐮 = 0
Propiedad conmutativa
Propiedad asociativa
Elemento neutro de la suma
Elemento neutro del producto
Propiedad del inverso aditivo
Propiedad asociativa de la multiplicación escalar
Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma
Propiedades del cero
PRODUCTO ESCALAR
Un producto escalar es una operación entre vectores que se denota como u.v y da como resultado un escalar, es decir:
Sean los vectores u = (a , b) y v = (c + d) entonces:
u.v = (a , b).(c , d) = ac + bd
Ejemplo:
Sean u = (2 , 3) y v = (4 , -7)
u . v = (2 , 3) . (4 , -7) =
= 2.4 + 3.(-7)
= 8 -21
= -13
Geometricamente, el resultado representa al modulo de la proyeccion de un vector sobre el otro, es decir: |OA'|
Otra forma de calcular el producto escalar es:
donde |u| y |v| son los módulos de u y v respectivamente y θ es el ángulo comprendido entre ambos vectores.
Esta formula es muy útil ya que con ella podeos hallar el ángulo entre dos vectores. Ejemplo:
u . v = |u| . |v| . cos θ
Sean los vectores v = 2i + 3j y v = 4i - 7j, determinar el ángulo entre ellos
Primero hacemos el producto escalar u . v y calculamos los módulos de u y v
u . v = |u| . |v| . cos θ
-13 = 3,6 . 8,06 . cos θ
-13 = cos θ
29
cos θ = - 0,45
θ = arcos (-0,45)
θ = 116.74º
Aplicamos la fórmula
Resolvemos y despejamos θ
PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial entre dos vectores se denota como w = u x v y su resultado (w) es un vector perpendiculares a u y v
Se resuelve calculando el determinante. Ejemplo:
Sean u = 2i + 3j y v = 4i - 7j entonces:
El vector resultante w será un vector perpendicular a u y v de modulo |w|=26 de sentido contrario a la regla de la mano derecha, es decir, siguiendo la grafica de ejemplo, w apuntaría hacia abajo.
Otra forma es llevar los vectores a un sistema tridimensional, esto se logra agregando la coordenada z = 0, es decir:
u = 2i + 3j + 0k y v = 4i - 7j + 0k entonces:
Ver Método de determinante en Sistema de ecuaciones
Otra forma de encontrar su módulo es con la siguiente formula:|w| = |u|.|v| . sen θ
Ejercicios:
1) Siendo m = -3i + 2j, n = 4i, p = -i - 3j, q = 4i + 3j hallar:
a) m + n - p =
b) 3m + 2n + p =
c) -m - 3n + 4p =
d) q + 3m =
e) m + n - q - p =
f) -p - 4q =
g) | m + n - p| =
h) | m + n - q - p| =
i) | -p - 4q| =
2) Determinar si es posible el valor de x para que el módulo de los siguientes vectores sean los dados en cada caso:
a) m = 3i + (x-1)j |m| = 5
b) a = xi - 5j |a| = 2
c) u = xi - 3j |u| = 5
3) Reescribe los siguientes vectores en su forma polar a la forma en componentes:
a) 𝐮 = (2, 30°)
b) v = (6, 60°)
c) w = (5, 𝜋/2)
d) x = (8, 𝜋)
e) y = (10, 5𝜋/6)
f) z = (50, 3𝜋/4)
4) Escriba los siguientes vectores en su forma polar:
a) 𝐮 = 5√2𝐢 − 5√2𝐣
b) v = −√3𝐢 − 𝐣
5) Calcular el ángulo que forman los siguientes pares de vectores:
a) v = (2 , 1) y w = (1 , 3)
b) v = (0 , −6) y w = (3 , −√3)
c) v = (0 , −√3) y w = (√3/2 , −3/2)
d) v = (−2 , 3) y w = (−4 , 3)
6) Calcular el producto escalar de los siguientes pares de vectores:
a) v = (1 , 2) y w = (0 , 2)
b) v = (3 ,−2) y w = (−2 , 3)
c) v = (1/2 , 9) y w = (4 , 1/3)
7) Indicar si los siguientes pares de vectores son perpendiculares:
a) v = (−1 , 3) y w = (3 , 1)
b) v = (2/3 , −7/2) y w = (−21 , −4)
c) v = (1 , 1) y w = (2 , −1)
d) v = (5 , 1) y w = (0.5 , −2.5)
8) Dado m = 3i - 2j + 4k, n = -i + 3k y p = -3j + 2k hallar los siguientes productos:
a) m x n =
b) m x p =
c) p x n =