MATRICES
Definición
Una matriz es una tabla de números ordenada en m filas y n columnas, cerrada entre paréntesis y se denotan por letras en mayúscula.
Cada elemento de la matriz se denomina aij donde el subíndice i indica la fila y el subíndice j, la columna.
La posición del elemento a12 es: primera fila y segunda columna.
Orden de una matriz
El orden o dimensión de una matriz representa su número de filas y columnas totales, se expresa por m x n.
Ejemplo
3 filas x 1 columna
2 filas x 3 columnas
4 filas x 4 columnas
Tipos de matrices
Existen diferentes tipos de matrices. Vamos a ver las matrices más importantes:
Matriz nula
Es cualquier matriz donde todos sus elementos sean cero. Se denota con la letra N
Matriz fila
En una matriz fila, sus elementos están en una única fila (de orden o dimensión 1 x n).
A = (a11 a12 a13 a14 ... a1n)
Ejemplo: (2 3), (0 5 -1 8)
Nota: Un vector es una matriz fila
Matriz columna
En una matriz columna, sus elementos están en una única columna (de orden o dimensión m x 1).
Nota: También puede ser llamado vector columna
Matriz cuadrada
Es toda matriz donde m = n y se denotan como An
Ejemplo:
Matriz rectangular
Es cualquier matriz no cuadrada, tiene diferente número de filas (m) que de columnas (n), es decir (m ≠ n).
Ejemplo:
Matriz triangular superior
Es una matriz cuadrada donde todos los elementos por debajo de la diagonal principal son 0. Es decir si i > j entonces aij = 0
Ejemplo:
Matriz triangular inferior
Es una matriz cuadrada donde todos los elementos por encima de la diagonal principal son 0. Es decir si i < j entonces aij = 0
Ejemplo:
Matriz diagonal
Una matriz diagonal es una matriz es triangular superior y triangular inferior. Es decir si i ≠ j entonces aij = 0
Ejemplo:
Matriz escalar
Una matriz escalar es aquella matriz diagonal en la que todos los elementos de su diagonal principal son iguales.
Ejemplo:
Matriz identidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de su diagonal principal son la unidad (es decir, unos) y se denomina como In.
Ejemplo:
Matriz traspuesta
Una matriz traspuesta, que la llamaremos se obtiene de otra matriz A intercambiando ordenadamente la filas por columnas.
Ejemplo:
PROPIEDADES DE MATRICES TRANSPUESTAS
Matriz simétrica
La matriz simétrica es una matriz cuadrada en que los elementos en posición simétrica respecto a la diagonal principal son iguales. Una matriz simétrica es igual a su matriz traspuesta. Toda matriz diagonal (y, por lo tanto, la matriz escalar o la matriz identidad) son simétricas.
Ejemplo:
Matriz opuesta
Dada una matriz A de orden m x n donde sus elementos son aij, su matriz opuesta es otra matriz –A(mxn), formada por los elementos -aij
Ejemplo:
Matriz antisimétrica
La matriz antisimétrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta es igual a su opuesta ( = –A) y los elementos de la diagonal principal deben de ser ceros. Es decir:
Ejemplo:
Matriz inversa
Sea A una matriz cuadrada, la matriz inversa de A es otra matriz cuadrada, representada por donde:
-
PROPIEDADES DE MATRICES INVERSAS
Operaciones
-
SUMA DE MATRICES:
Para que pueda efectuarse una suma, las matrices deben ser de igual orden y se realiza sumando elemento a elemento, es decir:
Sean A(m x n) = aij y B(m x n) = bij entonces: A + B = C(m x n) = cij, con cij = aij + bij
Ejemplo:
-
RESTA DE MATRICES:
Para que pueda efectuarse una resta, las matrices deben ser de igual orden y se realiza restando elemento a elemento, es decir:
Sean A(m x n) = aij y B(m x n) = bij entonces: A - B = C(m x n) = cij, con cij = aij - bij
Ejemplo:
-
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ:
La multiplicación de un escalar k por una matriz A es otra matriz de la misma dimensión que A, cuyos elementos son el resultado de multiplicar ordenadamente el escalar k por cada elemento de A, es decir:
Sea A(m x n) y sea k un escalar tal que k ∈ R entonces:
Ejemplo:
Sean A(m x n) = aij y B(n x p) = bij entonces: P(m x p) = pij, con:
p11 = Σ a1j . bi1, p12 = Σ a1j . bi3, ... p1m = Σ a1j . biq,
p21 = Σ a2j . bi1, p22 = Σ a2j . bi3, ... p2m = Σ a2j . biq,
p31 = Σ a3j . bi1, p32 = Σ a3j . bi3, ... p3m = Σ a3j . biq,
... = ... ... ...
pm1 = Σ amj . bi1, pm2 = Σ amj . bn2, ... pmq = Σ amj . biq,
-
PRODUCTO DE MATRICES:
La multiplicación de matrices solamente es posible si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número filas de la segunda. Sus órdenes deben ser m x n y n x q. La matriz producto resultante P tendrá un orden m x q es decir:
Para hallar p11 elemento de la 1era fila y 1er columna) debemos sumar el producto de cada elemento de la fila 1 por cada elemento de la columna 1
Para hallar p12 elemento de la 1era fila y 2da columna) debemos sumar el producto de cada elemento de la fila 1 por cada elemento de la columna 2
Para hallar p13 elemento de la 1era fila y 3ra columna) debemos sumar el producto de cada elemento de la fila 1 por cada elemento de la columna 3
Para hallar p21 elemento de la 2da fila y 1er columna) debemos sumar el producto de cada elemento de la fila 2 por cada elemento de la columna 1
Para hallar p22 elemento de la 2da fila y 2da columna) debemos sumar el producto de cada elemento de la fila 2 por cada elemento de la columna 2
Y así sucesivamente hasta llegar a pmq
Ejemplo:
Propiedades
-
PROPIEDADES DE LA SUMA
Sean A, B y C matrices de orden m x n y α y β escalares perteneciente a los reales:
Propiedad conmutativa con respecto a la suma:
A + B = B + A
Propiedad asociativa con respecto a la suma:
(A + B) + C = A + (B + C)
Elemento neutro con respecto a la suma:
A + N = N + A = A
Toda matriz A tiene una matriz opuesta -A tal que:
A + (–A) = (–A) + A = N
Propiedad distributiva de un escalar con respecto a una suma de matrices
α.(A + B) = α.A + α.B
Propiedad distributiva de una matriz con respecto a una suma de escalares
(α + β).A = α.A + β.A
-
PROPIEDADES DEL PRODUCTO
Existencia de elemento neutro en el producto de una matriz por un escalar
1.A = A
Existencia del elemento neutro en el producto de dos matrices
I.A = A.I = A, siendo I la matriz identidad
Propiedad asociativa de una matriz con dos escalares
α.(β.A) = (α.β).A
Propiedad asociativa con respecto al producto de matrices
(A.B).C = A.(B.C)
Propiedad distributiva de la suma con respecto al producto de matrices
(A + B).C=A.C + B.C
P.(Q + R) = P.Q + P.R
Propiedad asociativa con respecto a un escalar y dos matrices
(k.A).B = k.(A.B) = A.(k.B), k ∈ R
Propiedad de la matriz nula en el producto de matrices
N.A = N y N.A = N, siendo N la matriz nula
Ejercicios
Determinante de una Matriz
Dada una matriz cuadrada A, su determinante es un número asociado a A que se denota como det(A) o |A| y sirve para determinar si la matriz A tiene o no inversa. Existen distintos métodos para encontrarlo:
Matriz 1x1
Sea A una matriz de orden 1 tal que A = (a) entonces el determinante de A det(A) = a
Ejemplo
A = (5) ⇒ |A| = 5
Matriz 2x2
Dada una matriz de orden 2, calculamos su determinante restando el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.
Ejemplo
Método de los triangulación
El método de los triángulos es una variante del método de Sarrus, con la diferencia que éste método solo se puede utilizar en matrices de orden 3:
Ejemplo:
Primero sumamos:
El producto de los elementos de la diagonal principal, es decir: a11 = 1, a22 = 5 y a33 = 9
Luego sumamos el producto de los elemento de un triangulo: a21 = 6, a32 = 8 y a13 = 3
Y por ultimo sumamos el producto de los elementos del otro triangulo: a31 = 7, a12 = 2 y a23 = 4
Luego hacemos la resta de:
El producto de los elementos de la diagonal secundaria, es decir: a13 = 3, a22 = 5 y a31 = 7
Luego restamos el producto de los elemento de un triangulo: a23 = 4, a32 = 8 y a11 = 1
Y por ultimo restamos el producto de los elementos del otro triangulo: a33 = 9, a12 = 2 y a21 = 6
A es de orden n=3, por lo tanto extendemos el determinante con las 2 primeras filas (n-1) pode debajo de él
Sumamos el producto de los elementos de la diagonales principales y restamos el producto de los elementos de las diagonales secundarias
Método de Sarrus
Dada una matriz de orden n, debemos extender n-1 filas o columnas para obtener n diagonales principales y n diagonales secundarias.
Ejemplo 1.
Como se observa, si comparamos éste método con el anterior, resultan exactamente iguales, queda a elección de cada uno elegir uno u otro método
Regla de Laplace
Esta se puede aplicar para matrices cuadradas de cualquier dimensión, pero normalmente se hace para dimensión mayor que 3. Hay dos versiones de la regla: desarrollo por fila y desarrollo por una columna. El resultado es el mismo, pero escogeremos uno u otro según nos convenga.
Como ejemplo trabajaremos con la misma matriz A del ejemplo anterior para comparar el resultado:
Primero se elije una fila o columna: los elementos de esa fila o columna toman el nombre de pivote y los elementos que pertenecen a la misma fila y columna de cada pivote no se toman en cuenta
Luego se forman matrices con los elementos que no pertenecen a la misma fila ni columna de cada pivote
El determinante de la matriz es la suma de cada elemento aij de dicha fila multiplicado por (es +1 o −1 según la posición del elemento) y por el determinante de la submatriz Aij.
Nota: La idea es elegir una fila que tenga algunos elementos igual a 0 o 1 para optimizar la resolución del ejercicio.
Para aplicar el siguiente método de resolución de determinante es necesario conocer las siguientes propiedades de los determinantes:
PROPIEDADES DE DETERMINANTES
-
Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz son 0, entonces su determinante es 0.
Ejemplo:
-
Sea A una matriz cuadrada, el determinante de su transpuesta es igual al determinante de A, es decir:
Ejemplo:
-
Si se cambian de orden dos filas o dos columnas de un determinante, el resultado del determinante cambia de signo.
Ejemplo:
-
Sea una matriz cuadrada A, si multiplicamos todos los elementos de una fila o columna de A por un escalar k, entonces el determinante de esa nueva matriz será igual a k.det(A)
Ejemplo:
Combinación lineal
Una combinación lineal dentro de una matriz es una operación donde se suman filas o columnas, cada una multiplicada por un número escalar.
Existen 3 tipos de combinaciones lineales:
1) Si una fila o columna es múltiplo de otra fila o columna
Ejemplo:
2) Si una fila o columna es resultado de la suma de otras 2 filas o columnas.
Ejemplo:
La tercera columna es equivalente a la suma de las otras dos columnas
3) Si una fila o columna es resultado de la suma de múltiplos de otras 2 filas o columnas.
Ejemplo:
La tercera fila es equivalente a la suma de la primer fila mas el doble de la segunda, es decir: f3 = f1 + 2f2
-
Si una fila (o columna) de la matriz es una combinación lineal de otras filas (o columnas), entonces el determinante de la matriz es 0.
Siguiendo el ejemplo anterior:
-
Si sustituimos una fila (o columna) de un determinante por la suma de esa misma fila (o columna) más un múltiplo de otra fila (o columna), el resultado del determinante no varía.
Por ejemplo:
Resolvemos el determinante de la siguiente matriz
Alteramos la matriz: A a la segunda fila le sumamos la primera fila multiplicada por 2
Al calcular el determinante de la matriz modificada, observamos que efectivamente el determinante no cambia.
Método de Gauss
Para aplicar este método, es fundamental conocer las propiedades de determinantes antes vistas. El objetivo es, a través de propiedades, llevar una matriz a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales. Cuando aplicamos el algoritmo siempre llegamos a una matriz diagonal o en su defecto, se puede llegar solo a una matriz triangular.
Ejemplo:
Aquí obtuvimos una fila donde todos los elementos son 0. Por propiedades podemos afirmar que: det(A) = 0
Matriz inversa
Anteriormente mencionamos la matriz inversa y sus propiedades, a continuación veremos como se obtiene la matriz inversa de una matriz cuadrada A
Desarrollamos aquí el método de Gauss-Jordan para hallar la matriz inversa. Consiste en construir una matriz aumentada, colocando a la derecha de la matriz original A una matriz identidad del mismo orden. A continuación, se hacen las transformaciones elementales sucesivas con el fin de que la matriz identidad quede ahora a la izquierda. La de la derecha obtenida será la matriz inversa.
Por ejemplo:
Como queremos llegar en la izquierda a la matriz identidad tenemos tres opciones:
Multiplicar toda la fila 1 por 1/2
Intercambiar la fila 1 por la fila 2 o
Intercambiar la fila 1 por la fila 3
Ya teniendo el 1er pivote en (a11 = 1) de la fila 1 procedemos a modificar la fila 2 y 3 para conseguir que todos los elementos por debajo del pivote se conviertan en 0
Teniendo el 2do pivote en (a22 = 1) de la fila 2 procedemos a modificar la fila 1 y 3 para conseguir que todos los elementos por encima y por debajo del pivote se conviertan en 0
Transformamos la fila 3 para conseguir el 3er pivote en (a33 = 1). Para ello, dividimos a toda la fila 3 por -9
Modificar la fila 1 y 2 para conseguir que todos los elementos por encima del pivote se conviertan en 0
Finalmente conseguimos del lado izquierdo nuestra matriz identidad I, lo que significa que la matriz resultante de la derecha es la matriz inversa de A que buscábamos.
Nota: No todas las matrices tienen matriz inversa: Toda matriz A tiene matriz inversa ⇔ |A| ≠ 0
Verificación: Por la definición de matriz inversa, si multiplicamos A por su inversa, deberíamos obtener la matriz identidad I:
Ecuaciones matriciales
Una ecuación matricial es una ecuación cuya incógnita X es una matriz. se resuelve despejando mediante operaciones algebraicas como suma, resta, producto de matrices y, fundamentalmente, la matriz inversa .
Ejemplo:
Renombramos las matrices como A, B y C para mayor comodidad
Multiplicamos en ambos miembros por la inversa de B
Por definición el producto de B por su inversa es igual a la matriz identidad
Por definición de la matriz identidad X.I = X
Multiplicamos en ambos miembros por la inversa de A
Por definición el producto de A por su inversa es igual a la matriz identidad
Por definición de la matriz identidad I.X = X
Importante: Para la resolución de una ecuación matricial debemos tener muy presente que el producto de matrices no es conmutativo, es decir: A.B ≠ B.A
Calculamos la inversa de A y B
Realizamos el producto
Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales
a)
b)
c)
d)
e)
Sistema de ecuaciones
En el apartado de sistemas de ecuaciones vimos distintos métodos para resolver sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas y vimos el método de determinante para resolver sistemas mayores. En éste apartado veremos dos métodos para resolver sistemas grandes.
ECUACION MATRICIAL
Se trata de llevar cualquier sistema de m ecuaciones con n incógnitas a un producto de matrices, es decir, para todo sistema de ecuaciones:
Podemos escribirlo como un producto de matrices A.X = B donde:
La matriz A esta formada por todos los coeficientes de cada ecuación.
La matriz X esta formada por todas las incógnitas de cada ecuación.
La matriz B esta formada por todos los términos independientes de cada ecuación
Así cualquier sistema de ecuaciones podemos escribirlo como y resolver de la siguiente manera:
Ejemplo:
Escribimos el sistema de ecuaciones como una ecuación matricial
Buscamos el determinante para ver si A tiene matriz inversa
Al ver que det(A) ≠ 0 procedemos a calcular la matriz inversa de A
Resolvemos la ecuación
METODO DE LA MATRIZ AMPLIADA
Para resolver un sistema con éste método, debemos tener en cuenta algunos conceptos:
Rango: Sea A una matriz cualquiera, llamamos rango de A "r(A)" al número máximo de filas o columnas linealmente independientes, es decir, que no son una combinación lineal de otras filas o columnas de la matriz.
Matriz ampliada: Para cualquier sistema de ecuaciones, podemos escribir la matriz ampliada A' = A | B donde A esta formado por los coeficientes del sistema y B está formado por los términos independientes
Por ejemplo:
Teorema de Rocuhé-Frobenius
Sea A·X = B una ecuación matricial con n incógnitas, entonces:
-
A·X = B es compatible si, y sólo si, r(A) = r(A|B).
b) A·X = B es compatible indeterminado si, y sólo si, r(A) = r(A|B) < n
a) A·X = B es compatible determinado si, y sólo si, r(A) = r(A|B) = n
-
A·X = B es incompatible si, y sólo si, r(A) ≠ r(A|B)
Es decir, tiene solución
Se puede determinar su solución, es decir, tiene solución única
Es decir, tiene infinitas soluciones.
Es decir, no tiene solución.
Ejemplo 1.-
Como podemos ver, r(A) = r(A|B) = número de incógnitas, por lo tanto la ecuación es compatibles determinada, tiene una única solución
Como los elementos de la primer columna de la matriz corresponden a los coeficientes que multiplican a la primer variable (x) y los elementos de la segunda columna corresponden a los coeficientes que multiplican a la segunda variable (y) tenemos:
1x + 0y = 8/7 y 0x + 1y = 12/7
x = 8/7 y = 12/7
Ejemplo 2.-
Aquí podemos ver que el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz ampliada, pero menor al número de incógnitas, o sea: r(A) = r(A|B) < n. Por lo tanto la ecuación es compatibles indeterminada, tiene infinitas soluciones.
Si rearmamos el sistema tenemos:
1x - 2y = 3 Despejamos y
y = 2x - 3/2
Si le asignamos a x el valor 0 obtenemos una de las infinitas soluciones:
Quedando el conjunto solución como:
Ejemplo 3.-
En este ejemplo el rango de la matriz A es distinto al rango de la matriz ampliada. Por lo tanto la ecuación es incompatibles indeterminada, es decir que no tiene solución.
Nota: Si armamos una ecuación con los elementos de la segunda fila tenemos: 0x + 0y = -1 lo que nos da un absurdo
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
