Aplicamos la definicion de derivada
Al calcular el límite encontramos una indeterminación asique procedemos a modificar la expresión
Aplico una igualdad trigonométrica: cos (a+b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b)
Aplico propiedad conmutativa para ordenar el numerador
Sacamos factor común cos(x) en el 1er y segundo término
Separamos el denominador h en dos fracciones
Aplicamos propiedades de límites para los productos y resta y resolvemos
El lim de sen(h)/h es un limite notable igual a 1
El lim de cos(h)-1/h sigue dando una indeterminación asique vamos a modificarla:
Multiplico tanto el numerador como el denominador por el conjugado del numerador es decir, cos(h)+1
Resolvemos la multiplicación
Aplicamos la identidad trigonométrica pitagórica, es decir:
sen²(x) + cos²(x) =1
Separamos sen²(x) en un producto de fracciones para obtener un limite notable
Aplicamos propiedad de límites en un producto y calculamos dichos límites
Ya teniendo un resultado del límite que nos daba una indeterminación, resolvemos todo
Queda demostrado que la derivada de la función cos(x) es:
f(x) = cos(x) → f'(x) = -sen (x)