RADICALES
-
Suma y Resta:
Solo se pueden sumar o restar terminos semejantes, es decir, terminos con raices de igual indice y radicando. Para ello es conveniente factorear y simplificar cuando sea posible (o conveniente). Ejemplo:
Factoreamos los radicandos
Propiedad Distributiva de la Raiz con respecto al producto (o division)
Simplificamos Potencia con Raiz en cada termino
Multiplicamos los factores que quedaron fuera de la raiz y sumamos
Resuelve las siguientes sumas y restas:
-
Producto:
Cuando las raices poseen igual indice podemos simplemente asociarlas.
Propiedad Asociativa de la raiz con respecto al producto y la division:
Ejemplo:
Si los indices son de diferente valor debemos calcular el m.c.m. entre ellos:
El m.c.m.(3,4)=12 Luego divido el m.c.m. con cada indice, este resultado sera la potencia que deberemos aplicar a cada radicando.
Aplicamos propiedad distributiva de la potencia con respecto al producto y potencia de potencia para desacernos de los parentesis, de esta forma podemos agrupar los factores de igual base bajo un mismo indice.
Por ultimo factoreamos y simplificamos para que las potencias que se encuentren en el radicando sean menores al indice.
Si desean pueden distribuir la raiz para simplificar el indice con la potencia de a y observaran el mismo resultado del mismo qjercicio que resolveremos de otra manera.
Cuando los radicales son de igual base resulta mas sencillo transformar las raices en potencias (ver potencia en la seccion de racionales)
Veremos como ejemplo el mismo ejercicio y aplicaremos potencia de igual base, es decir, sumar las potencias.
Transformamos las raices en potencias racionales como se mostro anteriormente.
Sumamos las potencias de igual base.
Expresamos las nuevas potencias como raices.
Por ultimo nos queda factorizar y simplificar.
Ejercicios:
Resuelve los siguientes productos.
-
Division:
En una division de radicales debemos proceder de igual manera que en el producto:
El m.c.m.(2,3)=6 Luego divido el m.c.m. con cada indice, este resultado sera la potencia que deberemos aplicar a cada radicando.
Ya podemos resolver la division que tenemos dentro de la raiz, en este caso como podemos trabajar con division de igual base conviene factorear el numerador.
Aplicamos la propiedad: potencia de potencia
Como se trata de una division restamos la potencia y listo.
Resuelve las siguientes divisiones:
-
Racionalizacion de Radicales:
Cuando tenemos una expresion con raices en el denominador resulta conveniente encontrar una expresion equivalente que no tenga raices en dicho denominador, a este procedimiento lo denominamos racionalizacion. Podemos encontrarnos con dos casos:
1) Cuando en el denominador se encuentra un solo termino con raiz
Ejemplo:
Como siempre, lo mas conveniente es factorear el radicando.
Para eliminar la raiz (cubica en este caso) debemos obtener en la potencia del radicando el mismo valor que el del indice, como en este caso el indice es 3, nuestro radicando debe tener igual potencia, para ello aplicaremos la propiedad uniforme, esto es:
Multiplicaremos nuestra expresion original por una fraccion tal que; el numerador sea igual al denominador, al ser estos de igual valor en definitiva simplemente estamos multiplicando la expresion original por 1
Esta nueva fraccion de igual numerador y denominador sera una raiz cubica, de esta forma podremos unir ambas raices de los denominadores sin problema alguno.
Como nuestro radicando tiene una potencia de 2, el radicando que nosotros agregaremos en la propiedad uniforme sera de igual base (5) pero con potencia igual a 1 para que, al multiplicar ambos denominadores obtendremos un radicando con potencia igual al indice
Al lograr igual potencia e indice podemos simplificarlos eliminando asi la raiz del denominador.
2) Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada
Como en el primer caso, aqui tambien deberemos aplicar la propiedad uniforme, es decir, la fraccion que agregaremos multiplicando a la expresion original tendra igual numerador y denominador:
Dicha fraccion estara formada por el conjugado del denominador de nuestra expresion, esto es, el mismo denominador solo que restando en vez de estar sumando como en la original. (Si la expresion hubiera sido una resta, el conjugado sera una suma)
Al hacer el producto y aplicar la propiedad distributiva (si lo hicimos bien) obtendremos cuatro terminos de los cuales siempre deberan cancelarse los dos centrales y, el o los terminos que sean raices tendran una potencia por ende, podremos simplificarlas quedando asi la expresion racionalizada.
Ejercicios:
