CONJUNTO DE NUMEROS NATURALES
Definicion:
Los numeros naturales son los numeros que se utilizan para contar (cardinales) los elementos de un conjunto y se denotan con la letra lN
Puede definirse el conjunto por "extension" de la siguiente manera y se lee asi:
El conjunto lN (Naturales) está formado por los elementos uno, dos, tres, etc..
Este conjunto cumple con las siguientes características:
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El numero 1 es un numero natural
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Entre dos números naturales consecutivos no puede haber otro natural
-
Para todo numero natural, existe un sucesor.
Ejemplo:
Como el 1 pertenece al conjunto de los números naturales, entonces el 2 también pertenece al conjunto de los números naturales.
Como el 2 pertenece al conjunto de los números naturales, entonces el 3 también pertenece al conjunto de los números naturales.
Por lo tanto podemos observar que el conjunto es "infinito"
Propiedades:
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La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir:
Para todo numero a, b, c perteneciente al conjunto de los Naturales:
axb = bxa
a+b = b+a
Al multiplicar axb obtengo como resultado lo mismo que si multiplicara bxa
Al sumar a+b obtengo como resultado lo mismo que sumar b+a.
Ejemplo: 3x5 = 5x3 = 15
Ejemplo: 3+5 = 5+3 = 8
∀ a, b, c ∈ lN:
a+(b+c) = (a+b)+c
Ejemplo: 2+(4+7) = (2+4)+7
2 + 11 = 6 + 7
13 = 13
ax(bxc) = (axb)xc
Ejemplo: 2x(3+5) = (2x3)x5
2 x 15 = 6 x 5
30 = 30
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Los numeros naturales son "ordenados". Es decir: Entre dos numeros naturales podemos establecer cual es mayor o menor
Ejemplo: 5 < 7
7 > 5
Se lee: El numero 5 es menor que el numero 7
El numero 7 es menor que el numero 5
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Existe un elemento neutro en el producto de números naturales (1) pero no para la suma. Es decir:
-
A todo numero natural si lo multiplicamos por 1, obtenemos el mismo numero natural
∀ a ∈ lN: ax1=a
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Todos conocemos el neutro de la suma (el cero). Pero éste numero no pertenece a los naturales, por lo tanto "no existe numero neutro para la suma en los Natuales"
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Distributiva del producto respecto de la suma
a.(b + c) = a.b + a.c
Ejemplo: 5 x (3 + 8) = 5 x 11
5x3 + 5x8 = 55
15 + 40 = 55
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Propiedades de las potencias:
1- Todo numero elevado a la potencia cero es igual a uno.
2- Todo numero elevado a la potencia uno es igual al mismo numero.
3- Producto de igual base.
Ejemplo:
4- División de igual base.
Ejemplo:
5- Potencia de potencia.
Ejemplo:
6- Propiedad distributiva de la potencia con respecto al producto y la división.
Ejemplo: 1
Ejemplo 2:
Nota: Todas las propiedades de la potencia también se aplican a las raíces Cuando analicemos el conjunto de los números racionales explicaremos en detalle el por que.
Resolviendo operaciones combinadas:
Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen varias operaciones aritméticas para resolver.
Ejemplo 1:
Para obtener el resultado correcto deben seguirse separar en terminos:
Un termino es todo numero u operación aritmética que se encuentra entre una suma o resta.
Deberá quedar de la siguiente forma:
4 + 24 - 2 = 26
En caso de tener ademas del paréntesis corchetes y llaves debemos resolver primero los paréntesis luego los corchetes y por ultimo las llaves.
Ejemplo 2:
1- Primero resolvemos la resta que se encuentra dentro de los paréntesis. (Observa que al obtener el resultado de la resta podemos eliminar el paréntesis)
2- Para resolver el corchete debemos separa en términos dentro de él y resolver primero el producto
3- Ahora podemos resolver la suma que se encuentra dentro de los corchetes y eliminar estos.
4- Resolvemos la resta que nos quedó entre llaves y finalmente la división
{90 − [30 + 6 (19 − 12)]} : 2 =
{90 − [30 + 6 .7]} : 2 =
{90 − [30 + 42]} : 2 =
{90 − 72} : 2 =
18 : 2 = 9
Ejercicios:
1) Calcula:
a) (6+3)·5=
b) (7+6)·3=
c) 3+3·3=
d) 6+4·8=
e) 2·8+3·5=
f) 6·7+8·5=
g) 9+0=
h) 8·1=
i) 7·0=
j) 7:0=
2) Calcula usando la propiedad distributiva:
a) (4+5)·6=
b) (3+8)·8=
c) (8+2)·6=
d) (3+8)·8=
e) (8+2)·6=
3) Resuelve:
a) 27 + 3 · 5 − 16 =
c) 27 + 3 − 45 : 5 + 16 =
e) 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 20 : 4 =
g) 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 20 : 4 =
i) (2 · 4 + 12) (6 − 4) =
b)3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 3 =
d) 3 · 9 + (6 + 5 − 3) − 12 : 4 =
f) 2 { 4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
h) (15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) − 5 + (10 − 4) =
j) {5 + 10 [20 : 5 − 2 + 4 (5 + 2 · 3)] − 8 · 32} + 50 (6 · 2)
4) Escribe en forma de una sola potencia:
