Racionales | aprendematematica

Definicion:

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros coprimos (más precisamente, un entero y un natural positivo) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero.

El conjunto de los números racionales se denota con la letra Q e incluye a los números entero.

Fracciones:
Las fracciones se clasifican en tres tipos:

Fracción propia: El numerador es menor que el denominador.

Esto significa que la fraccion es menor a un entero

Fracción impropia: El numerador es mayor que el denominador.

Esto significa que la fraccion es mayor a un entero

Tambien puede escribirse como fraccion mixta, con parte entera y parte fraccionaria

Fracción aparente: El numerador es multiplo del denominador.

Representan números enteros

Las fracciones equivalentes son las que representan la misma parte de un entero.

Esto se logra amplificando o simplificando una fraccion:

Para amplificar una fracción multiplicamos tanto el numerador como el denominador por un mismo número.
Para simplificar una fracción dividimos tanto el numerador como el denominador por un mismo número.

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Al operar con estos muchas veces es necesario transormarlos a fracciones:

1- Si tratamos con un decimal finito debemos escribir el decimal sin la coma en el numerador y en el denominador potencias de 10 (10 100 1000 etc)

Ejemplo: 2,5 = 25/10 = 5/2 2,023 = 2023/1000

2- Para explicar como transformar un decimal periodico es mas practico hacerlos desde un ejemplo:

Esto es: En el numerador haremos una resta de todo el numero menos la parte no periodica y el denominador llevará tantos 9 como numeros periodicos haya (35)y tantos ceros como numeros decimales no periodicos tenga (2)

Propiedades:
A diferencia de los enteros, entre dos números racionales existen infinitos números racionales.
Ejemplo: Para encontrar un número racional entre 1/3 y 2/3 basta con amplificar las fracciones:

Como se observa, al amplificar las fracciones, podemos encontrar una fracción entre estas dos "3/6" que equivale a "1/2"

En los enteros observamos que todo numero entero tiene un inverso aditivo u "opuesto". Los racionales, ademas de tener opuesto, tambien tienen inverso multiplicativo o "reciproco" esto es:
∀ x ∈ Q, x≠0 ∃! y / x . y = 1 Para todo número perteneciente al conjunto de los racionales distinto de cero existe un único número racional

tal que su producto de uno (elemento neutro de la multiplicación)

Ejemplo: El reciproco de 2/3 es 3/2 porque 2/3 . 3/2 = 6/6 = 1

Potencias de exponentes negativos:

Ejemplo:

Potencias con exponente racional:

En el apartado de las propiedades de los números naturales dijimos que las propiedades de las potencias valen también para las raíces Esto es porque una raíz puede expresarse como potencia racional.

Para transformar una raíz en potencia debemos escribir el radicando (a) como base; la potencia del radicando (m) será el numerador de la potencia racional y el indice (n) será el denominador

Ejemplos:

Por lo tanto una operación con raíces como el siguiente ejemplo podemos trabajarla de la siguiente forma:

Ejercicios:

1. Escribir tres fracciones equivalentes a las dadas

a) -2/3 b) 4/7 c) -3/1
d) 7/-3 e) -8/-7 f) 5/4

2. Escribir cada uno de los siguientes números racionales en su forma reducida
a) -4/6 b) 125/20 c) -7/-5
d) 15/-3 e) 1/-4 f) -36/-27

3. Indicar las siguientes fracciones con <> o =
a) 13/42 1/3 b) 2/7 13/43 c) -7/8 -15/17

d) -2/3 -41/61 e) -2/3 4/5 f) 4/13 -1/2

4. Determinar y ubica en la recta numérica tres números racionales entre:
a) 1/38 y 1/37 b) -4/5 y 2/7 c) -7/12 y -1/4 d) -1 y 1/2

5. Una con flechas los números racionales opuestos entre si
-9/2 -7
-3/4 5/-25
11/22 9/2
7 6/8
1/5 -1/2

6. Dar el reciproco (si existe) de cada uno de los siguientes números
a) -3/4 b) 2/3 c) 5/2 d) -4 e) 1 f) 0 g) 7/2 h) 1/5 i) 5

7. Efectuar las operaciones indicadas:

10. Represente los siguientes números decimales en su forma fraccionaria
a) 3,248 b) 0,15 c) 0,25 d) 0,75 e) 2,2343434..

f) 0,2222.. g) 0,123123.. h) 6,01434343.. i) 0,4954954..

11. Represente las siguientes fracciones como numero decimal
a) 5/3 b) 36/27 c) 1/5 d) 3/20 e) 3/8

f) 7/125 g) 2339/1980 h) 56/495 i) 451/12

12. Calcular y dar el resultado exacto
a) (0,333..) – 3,14 + (1,1222..) =
b) (4,1222..) + 0,12 : 4,3 – (2,21212..)x0,5 =
c) -2,4 + 0,8 : (3,222..) =
d) 3,5 – (4,2 – 0,12121..) : 0,2 =
e) 0,999.. : 0,9 – 1,322.. + 2,5 x 0,022 =
f) (7,5 – 0,555..) : 3 + 0,02525.. : 0.5 =
g) 1,5-1,0555..+ (0,21010..)/(0,9090..x 0,2)- 0,00333x10=
h) (0,25-2,75):0,5-1,444..∶ 1,11..+0,1333..∶3,75=
i) (2 - 1,04) . 0,625 + 3,444.. : 10,333.. – 10 : 0,75 =

16) Resolver los siguientes problemas.
a) Calcular un numero entero, cuyo duplo aumentado en tres, sea igual a la mitad de dicho numero
b) Si a un número se le cambia de signo y se multiplica por 4, se obtiene el triplo de la suma de 9 + 3 cambiado de signo. ¿Cuál es dicho número?
c) La suma de un producto de un numero natural por su consecutivo mas dicho numero por el anterior es igual a 8 ¿Cuál es dicho número?
d) El doble de un número entero aumentado en 5 unidades es igual al triple de su consecutivo. ¿Cuál es dicho número?

17. Resuelve las siguientes situaciones problematicas

a) Si a un numero se le suma su tercera parte y a este resultado se le resta el mismo numero aumentado en 5 se obtiene 1. ¿Cuál es dicho numero?

b) Una persona gasta 1/3 de su dinero y luego 2/5 de lo que le queda. Si aun le quedan $1200 ¿Cuánto tenia al principio?

c) Cada sobre de cierto medicamento contiene 2/15 de aspirina; 1/25 de acido ascórbico y el resto de saborizante. ¿Cuántos mg de cada componente hay en un sobre de 3 g?