EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS
Definición:
Es todo cociente de polinomios P(x) / Q(x) , siempre que el polinomio denominador no sea un polinomio constante (ni nulo) o aquéllas en que las variables son bases de potencias de exponente negativo.
Ejemplos:
Ejercicio
Determina cuales son expresiones fraccionarias:
Operaciones:
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
- Máximo común divisor
Definición: El máximo común divisor de 2 o más polinomios es otro polinomio que cumple:
a) Es divisor de todos los polinomios mencionados anteriormente.
b) De todos los posibles divisores, el mcd es el de mayor grado posible.
Ejemplo:
Calculamos el m.c.d. (x² - 1, x² + 2x + 1, x² +3x + 2)
x² - 1 = (x+1)(x-1)
x² + 2x + 1 = (x+1)²
x² +3x + 2 = (x+1)(x+2)
El máximo común divisor es el polinomio cuya descomposición factorial está formada solo por los polinomios irreducibles comunes a todos los polinomios con menor exponente.
Descomponer factorialmente cada polinomio en polinomios irreducible
m.c.d = x + 1
Descomponer factorialmente cada polinomio en polinomios irreducible
- Mínimo común múltiplo
Definición: El mínimo común múltiplo de dos o más polinomios es otro polinomio que cumple:
a) Es un polinomio múltiplo de todos los polinomios
b) De todos los polinomios múltiplos es aquel que tiene menor grado posible.
Ejemplo:
Calculamos el m.c.m. (x² - 1, x² + 2x + 1, x² +3x + 2)
x² - 1 = (x+1)(x-1)
x² + 2x + 1 = (x+1)²
x² +3x + 2 = (x+1)(x+2)
El mínimo común múltiplo es el polinomio cuya descomposición factorial está formada por los polinomios irreducibles comunes y no comunes a todos los polinomios con mayor exponente.
M.c.m = (x + 1)²(x - 1) (x + 2)
-
Simplificación:
La simplificación o reducción de fracciones es la acción de dividir el numerador y el denominador de una fracción por un número o expresión algebraica con el fin de obtener otra fracción equivalente, cuyo cociente tenga el mismo valor numérico.
Podemos decir que una fracción está reducida a sus términos más simples o completamente simplificados cuando no existe ningún factor común al numerador y el denominador. Podemos llamar entonces a este proceso simplificación de factores comunes.
Ejemplo:
Para obtener la solución de este ejercicio en primer lugar factorizaremos el numerador y el denominador y seguido a esto procederemos a simplificar los factores comunes a ellos.
Ejercicio
Simplificar las siguientes expresiones algebraicas:
-
Suma y Resta:
- Primer Caso: Expresiones algebraicas fraccionarias con igual denominador
La suma o resta de expresiones algebraicas fraccionarias del mismo denominador es otra expresión algebraica fraccionaria de igual denominador cuyo numerador es la suma o resta de los numeradores.
Ejemplo:
3x + 5
x + 1
- Segundo Caso: Expresiones algebraicas fraccionarias con distinto denominador.
Cuando los denominadores de las expresiones algebraicas fraccionarias son distintos, debemos encontrar el común denominador entre ellas, éste es el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Ejemplo:
Primero procedemos reemplazando los denominadores por su equivalente factorizado.
Calculando el mínimo común múltiplo de ellos:
mcm (x - 2)(x + 2) y (x + 2) = (x - 2)(x + 2)
Se divide el común denominador por cada denominador y se multiplica por el numerador.
Aplicamos propiedad distributiva y agrupamos los términos semejantes.
Por ultimo se factoriza el numerador con el fin de simplificar de ser posible.
Ejercicio
Efectuar las siguientes sumas y restas de expresiones algebraicas fraccionarias:
-
Multiplicación:
El resultado es una fracción algebraica cuyo numerador es el producto de los numeradores y su denominador el producto de los denominadores.
P(x) . R(x) = P(x).R(x)
Q(x) S(x) Q(x).S(x)
Ejemplo 1:
Nota: Antes de realizar el producto, es conveniente simplificar las expresiones.
Ejemplo 2:
El primer paso es siempre factorizar cuando sea posible
Ya factorizados los polinomios, podemos simplificar, en una multiplicación se simplifica cruzado, factores de los numeradores con factores de los denominadores.
Por ultimo resolvemos el producto.
-
División:
El resultado es una fracción algebraica cuyo numerador es el producto del numerador de la 1ra fracción con el denominador de la 2da; y el denominador es igual al producto del denominador de la 1ra fracción con el numerador de la 2da.
P(x) : R(x) = P(x).S(x)
Q(x) S(x) Q(x).R(x)
Ejemplo 1:
Nota: Al igual que en la multiplicación, antes de dividir es conveniente factorizar y simplificar.
Ejemplo 2:
El primer paso es siempre factorizar cuando sea posible.
Ya factorizados los polinomios, podemos simplificar, en división podemos simplificar de dos formas:
-
Simplificar factores del numerador y del denominador de una misma fracción (a + 1)
-
Simplificar numeradores de distintas fracciones (a - 1)
-
Simplificar denominadores de distintas fracciones.
Por ultimo resolvemos la division multiplicando de forma cruzada.
Ejercicio
1) Efectuar las siguientes multiplicaciones y divisiones
2) Realizar las siguientes operaciones combinadas y simplificar los resultados cuando sea posible.
