TRIGONOMETRIA
Funciones trigonometricas de angulos negativos
Si se mide un ángulo en sentido contrario al sentido de giro de las agujas del reloj, se considera positivo. Si se mide en el sentido de giro de las agujas del reloj, se considera negativo.
En esta sección nuestro estudio se centra en calcular las identidades a las funciones trigonométricas de ángulos negativos. Para ello es necesario tener en cuenta las siguientes definiciones:
sen(-α)= - sen(α) cosec(-α) = 1 = 1 = -cosec(α)
sen(-α) -sen(α)
cos(-α)= cos(α) sec(-α) = 1 = 1 = sec(α)
cos(-α) cos(α)
tg(-α) = -tg(α) cotg(-α)= 1 = 1 = -cotg(α)
tg(-α) -tg(α)
Ejemplo: Sen(-60º)=- Sen(60º)=- √3/2 sec(-30º)=sec30º
Cos(-45º)=Cos(45º)= √2/2 cosec(-270º)=-cosec(270º)=- 1
Angulos complementarios
Definicion: Dos angulos α y ß son complementarios si y solo si la suma de sus medidas es igual a 90°. α + ß=90°
Por lo tanto:
sen α =sen(90°- ß)=cos ß
cos α=cos(90° - ß)=sen ß
tg α=tg(90° - ß)=cotg ß
Ejemplo:
sen 30° = sen(90°-30°) = cos 30° = √3/2
cos 30° = cos(90°-60°) = sen 60° = √3/2
Angulos que difieren en 90°
sen(90°+ α)=sen ß=cos α
cos(90°+ α) = cos ß=-sen α
tg(90°+ α) =tg(ß)=-cotg α
Ejemplo:
sen 120° = sen(90°+30°) = cos 30° = √3/2
cos 120° = cos(90°+30°) = -sen 30° = -1/2
Por lo tanto:
sen ß = sen(180°- α) = sen α
cos ß = cos(180° - α) = -cos α
tg ß = tg(180° - α) = -tg α
Ejemplo:
sen 150° = sen(180°-30°) = sen 30° = 1/2
cos 150° = cos(180°-30°) = -cos 30° = -√3/2
Angulos que difieren en 180°
sen ß = sen(180°+ α)=-sen α
cos ß = cos(180°+ α)= -cos α
tg ß = tg(180°+ α)= tg α
Ejemplo:
sen 225° = sen(180°+45°) = -sen 45° = -√2/2
cos 225° = cos(180°+45°) = -cos 45° = -√2/2
Angulos que suman 270°
sen ß = sen(270°- α)= -cos α
cos ß = cos(270°- α)= -sen α
tg ß = tg(270°- α)=cotg α
Ejemplo:
sen 240° = sen(270°-30°) = -cos 30° = -√3/2
cos 240° = cos(270°-30°) = -sen 30° = -1/2
Angulos que difieren 270°
sen ß = sen(270°+ α)= -cos α
cos ß = cos(270°+ α)= sen α
tg ß = tg(270°+ α)= -cotg α
Ejemplo:
sen 315° = sen(270°+45°) = -cos 45° = -√2/2
cos 315° = cos(270°+45°) = sen 45° =
Angulos mayores a 360°
Cuando tenemos razones trigonometricas de angulos que superan los 360 grados, debemos dividir dicho angulo por 360 y el resto (ß)de la division será el nuevo angulo con el que trabajaremos. Ejemplo:
sen(390°)= Dividimos 390°:360°
sen(30°)= El resto de la division es: ß=30°
sen(30°)=1/2
Angulos suplementarios
Definicion: Dos angulos α y ß son suplementarios si y solo si la suma de sus medidas es igual a 180°. α + ß = 180°
Ejercicio
Calculamos sen 135° 180° - 135° = 45° Trabajamos con el angulo sumplementario de 135°, que es 45° (un angulo notable)
sen 135° = sen (180°- 45°) sen α = sen ß cuando α y ß son suplementarios
sen 135° = sen 45° Reemplazo sen 45° por su solucion esacta (sin calculadora cientifica)
sen 135° = √2/2
1) Resuelve las siguientes operaciones trigonometricas sin usar calculadora:
a. sen(-60º) b. cos(1860°) c. cosec(-45º) d. sec(-180º)
d. tg(780°) e. -sen(-330º) f. – 2Tg²(-135º) g. sen³(-210º)
h. cosec(150º) i. sen(1440°) j. 2Cos(-120º) – 3cosec(-90º) k. tg(120°)
l. cos(210°) m. cotg(270°) n. sen(765°) o. sec(50°)
2) Verifica que:
a. cotg(-45º) + cos(-30º) + tg³(-180º) – cosec²(-60º) = 3√3 - 14
6
b. sen(-1290º) + cos(-3600º) = 3/2
Tan³(-4635º)
c. sen³(-1380º) . sec(-150º) = - 6
tg²(1125º) . cos³60º
d. 3sen(-225°) - 2cos²(-2310°) = 9√2 - 9
2cotg²(300º) - 4cosec³ (-2310º) 196