TRIGONOMETRIA
Circulo trigonometrico:
El circulo trigonometrico es un circulo de radio 1 ubicado en el centro de coordenadas de un sistema de ejes cartesianos y sirve para representar las funciones trigonometricas.
Si trazamos desde el origen una semirecta, ésta forma un angulo α con el eje horizontal
La semirecta intersecta con con el circulo en el punto C (Segmento AC).
Desde el punto C marcamos un segmento perpendicular al eje horizontal (Segmento BC) formando asi un triangulo rectangulo con un angulo recto en el punto B
El radio de una circunferencia es todo segmento desde el centro de la circunferencia, hasta cualquier punto de ella, por lo tanto, la hipotenusa del triangulo rectangulo mide igual al radio = 1
sen α = Cateto opuesto = BC = BC
Hipotenusa 1
cos α = Cateto adyacente = AB = AB
Hipotenusa 1
tg α = Cateto opuesto = BC = DE
Cateto adyacente AB
Asignandole distintos valores al angulo α podremos observar los triangulos rectangulos en sus distintos cuadrantes y el signo que tendran como resultado las diferentes razones trigonometricas fundamentales:
-
α = 0°
sen 0° = 0
cos 0° = 1
tg 0° = 0
-
0° < α < 90°
sen α = BC, con BC > 0 (Positivo)
cos α = AB, con AB > 0 (Positivo)
tg α = DE, con DE > 0 (Positivo)
-
α = 90°
sen 90° = 1
cos 90° = 0
tg 90° = No existe
-
90° < α < 180°
sen α = BC, con BC > 0 (Positivo)
cos α = AB, con AB < 0 (Negativo)
tg α = +/- = DE, con DE < 0 (Negativo)
Nota: La tangente debe trasladarse al 1er o 4to cuadrante dependiendo del caso.
-
α = 180°
sen 180° = 0
cos 180° = -1
tg 180° = 0
-
180° < α < 270°
sen α = BC, con BC < 0 (Negativo)
cos α = AB, con AB < 0 (Negativo)
tg α = -/- = DE, con DE > 0 (Positivo)
-
α = 270°
sen 90° = -1
cos 90° = 0
tg 90° = No existe
-
270° < α < 360°
sen α = BC, con BC < 0 (Negativo)
cos α = AB, con AB > 0 (Positivo)
tg α = DE, con DE < 0 (Negativo)
En el apartado anterior, aprendimos a calcular razones trigonometricas y sus inversas con uso de una calculadora cientifica; pero estos calculos son aproximaciones a las razones reales, por ello, ahora veremos los valores de las razones trigonometricas fundamentales exactas para algunos angulos notables:
Nota: En el siguiente apartado veremos como calcular una razon trigonometrica de forma exacta de angulos no notables.
Funciones trigonometricas reciprocas
Denominamos reciproco al inverso multiplicativo. Asi pues:
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La funcion cosecante es la reciproca de la funcion seno cosec α = 1
sen α
-
La funcion secante es la reciproca de la funcion coseno sec α = 1
cos α
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La funcion cotangente es la reciproca de la funcion tangente cotg α = 1
tg α
Identidad trigonometrica
Se conoce como identidad trigonométrica a la igualdad que involucra a funciones trigonométricas y que resultan verificables para cualquier valor de las variables (los ángulos sobre los que se aplican las funciones)
Ejemplo:
Demostrar una identidad trigonometrica es llevar un miembro a la misma expresion que el otro, para ello debemos conocer dos relaciones basicas, ademas de las funciones reciprocas anteriormente vistas:
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Identidad de la razon:
-
Relacion Pitagorica:
Ejemplo:
Resulta mas sencillo trabajar con el miembro mas complejo, por ello, trabajaremos con el primer miembro.
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El primer paso siempre será expresar toda operacion en funcion de seno y coseno. Para ello utilizamos la "Identidad de la razon"
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Resolvemos la suma de fracciones
-
Dado que el numerador es la relacion pitagorica, reemplazamos este por 1
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El resultado es la funcion reciproca del coseno.
Ejercicios
Verificar las siguientes identidades trigonometricas:
