TRIGONOMETRIA
En el apartado anterior aprendimos como calcular las medidas de todos los elementos de un triangulo rectangulo; en este apartado aprenderemos como calculas las medidas de todos los elementos de un triangulo cualquiera.
Teorema del Seno
"Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto"
Es decir:
Dado un triangulo cualquiera abc, donde: a, b, y c son los vertices del triangulo; A, B y C son los respectivos lados opuestos a cada vertice:
A = B = C
sen a sen b sen c
Nota: Para hacer uso de éste teorema, necesitamos como minimo tres datos, dos de los cuales deben ser un angulo y su respectivo lado opuesto.
Ejemplo: Dado el triangulo abc con A = 10cm, b = 45º y c = 76º calcularemos las medidas de los elementos restantes:
1) Bosquejamos un triangulo con los respectivos datos
2) Aún no podemos usar el teorema del seno ya que tenemos la medida del lado A pero nos hace falta la medida del angulo opuesto a
Dado que a + b + c = 180° (Propiedad de los angulos internos de un triangulo)
Reemplazamos: a + 45° + 76° = 180°
a + 121° = 180°
a = 180° - 121°
a = 59°
3) Ya podemos aplicar el teorema del seno:
10 = B = C Calculamos sen 59°, sen 45° y sen 76°
sen 59° sen 45° sen 76°
10 = B = C Separamos las razones en 2 igualdades para encontrar las medidas de los lados B y C
0,857 0,707 0,97
10 = B 10 = C Resolvemos cada ecuacion por separado despejando B y C respectivamente
0,857 0,707 0,857 0,97
11,668 . 0,707 = B 11,668 . 0,97 = C
B = 8,24 cm C = 11,31 cm
Verificacion: Una forma practica de verificar los resultados es sabiendo que a mayor angulo, se opone el mayor lado. Por lo tanto:
El lado opuesto del angulo c = 76° es el lado C = 11,31 cm (Mayor angulo - mayor lado)
El lado opuesto del angulo a = 59° es el lado A = 10 cm (Angulo medio - lado medio)
El lado opuesto del angulo b = 45° es el lado B = 8,24 cm (Menor angulo - menor lado)
Teorema del coseno
El teorema del coseno viene dado por la siguiente formula:
Sea abc un triangulo cualquiera, C² = A² + B² - 2.A.B.cos a
Donde se tiene como dato las medidas de los lados A y B, y el angulo a comprendido entre ellos. Y queremos averiguar la medida del lado opuesto a dicho angulo, el lado C.
Ejemplo:
Sea abc un triangulo con B = 7cm, A = 6cm y c = 50º
Nota: Si quisieramos calcular la medida del lado A, necesitariamos como dato las medidas de los lados B y C y el angulo a comprendido entre ellos.
La formula seria: A² = B² + C² - 2.B.C.cos a
Si quisieramos calcular la medida del lado B, necesitariamos como dato las medidas de los lados A y C y el angulo b comprendido entre ellos.
La formula seria: B² = A² + C² - 2.A.C.cos b
Ejercicios:
1) En los siguientes triangulos, hallar los lados y angulos restantes
2) Resuelve las siguientes situaciones problemáticas:
a) Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 500, y otro B, situado al otro lado de una línea recta, con un ángulo de 600. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 km del pueblo A y a 4 Km del pueblo B, calcula la distancia entre ambos pueblos.
b) Los flancos de un triangulo forman un angulo de 800 con la base. Si el triangulo tiene una base de 30 cm calcula la longitud de sus lados.
c) Tres amigos se sitúan en un campo de futbol. Entre Alberto y Berto hay 25 m, y entre Berto y Camilo hay 12 m. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 200. Calcula la distancia entre Alberto y Camilo.
d) Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 m en su lado mayor, 6 m en otro y 600 es el ángulo que forman entre ambos lados. Calcula el perímetro de la valla.