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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

FUNCION SENO

 

Definicion: Se denomina función seno, y se denota f(x) = sen (x), a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada generalmente en radianes. Su representacion grafica es:

Caracteristicas:

  • Es una funcion periodica, es decir, se repite un ciclo. Llamamos Periodo al tamaño de un ciclo, en este caso es de 2π

  • Es una funcion acotada, es decir, posee un valor maximo y un valor minimo, en este caso 1 y -1 respectivamente.

      Llamamos amplitud a la altura que tiene la grafica a partir de su eje central, en este caso su altura es 1

  • Es continua, por lo tanto su dominio siempre será el conjunto de todos los numeros reales. Dom f= lR

 

Ejemplo 1: f(x) = 3 sen(2x)

Dada la funcion f(x) = A.sen(Bx)

1) El coeficiente "A" determina la amplitud de la grafica, por lo tanto, en este ejemplo la amplitud de la funcion es A=3

2) El coeficiente "B" se denomina pulsacion y determina cuantos ciclos hay en 2π, por lo tanto, cuanto mas grande sea la pulsacion, mas pequeño será el periodo. Con él podemos determinar el periodo, para saber su tamaño debemos dividir 2π/B, por lo tanto: 2π/2= π. Es decir que la grafica tendra un periodo igual a π. Ya podemos graficar la funcion:

Primero determinamos el area donde la grafica realiza un ciclo completo con:

Periodo = π

Amplitud =3

 

Dividimos el periodo en 4 partes iguales:

1/4π, 1/2π, 3/4π y π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Marcamos 5 puntos:

El primer punto del ciclo siempre esta ubicado en el eje central

Si A>0, el segundo punto se ubicará en el eje superior, en  (1/4π, 3)

El tercero nuevamente sobre el eje central, en (1/2π, 0)

El cuarto sobre el eje inferior, en (3/4π, -3)

El ultimo que es el primero del siguiente ciclo una vez mas sobre el eje central,  (π, 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo 2: f(x) = -sen(x)

En este ejemplo, el 1er punto del ciclo esta ubicado sobre el eje central como en toda funcion seno.

 

Pero dado que A<0, el 2do punto esta hubicado sobre el eje inferior.

Ejemplo 3: f(x) = sen (x + π/2)

 

Dada la funcion f(x) = A.sen(Bx - C) llamamos "angulo de fase" a la division de C/B y determina el desplazamiento horizontal de la grafica

 

Por lo tanto el angulo de fase del ejemplo es C=π/2 y determina un desplazamiento de la funcion elemental π/2 unidades hacia la izquierda.

Su grafica será:

Ejemplo 4: f(x) = sen (x) + 1

 

Dada la funcion f(x)=sen(x)+D, el eje central de la grafica elemental sufrirá desplazamiento vertical D unidades hacia arriba o hacia abajo 

 

Por lo tanto en este ejemplo, el eje central de la funcion elemental se desplazara una unidad hacia arriba. Su grafica será:

Analisis completo de la funcion:

Dada la funcion "y = 3sen(1/2x -π/2) - 1" determinaremos todos sus elementos, grafica, dominio, rango e intersecciones con los ejes.

Para poder graficar la funcion primero debemos analizar todos los coeficientes empezando por:

1) D=-1 por lo tanto el eje central de la grafica intersecta al eje de las ordenadas en y=-1

2) La amplitud es A=3 por lo tanto la grafica tendra una altura de 3 unidades hacia arriba del eje central y 3 unidades hacia abajo.

3) Para determinar el periodo debemos dividir 2π por la pulsacion B, es decir: 2π : 1/2 = 4π

4) Por ultimo debemos analizar el desplazamiento horizontal dado C=π/2 y B=1/2, C/B = π, por lo tanto el area del 1er ciclo debemos desplazarlo π unidades hacia la derecha

 

Con estos datos ya podemos dibujar el area de un primer ciclo, recordemos que debemos dividir el periodo en 4 partes iguales para determinar los puntos en los ejes. En la funcion seno el 1er punto siempre esta sobre el eje central.

 

Interseccion con los ejes

  • Interseccion con el eje y: Calculamos f(0)

  • Intersecciones con el eje x - Ceros o Raices: Calculamos f(x) = 0

Ver Ecuaciones trigonometricas

Los valores encontrados son los primeros ceros a la derecha del origen de coordenadas, para encontrar todos los ceros restantes debemos sumarle o restarle el periodo. Por lo tanto los ceros serán: xn= 1,22π + 4kπ, y

                                                                                            xn= 2,78π + 4kπ, con k perteneciente a los enteros

Ejercicios:

1) Ubicar que grafico le corresponde a cada función

a) y = sen(2x)

b) y = sen(1/2 x)

c) y = sen(x) + 2

2) Estudia y representa las siguientes funciones trigonométricas:

a) y = sen(x)                            b) y = 2sen(x)                         c) y = -2sen(x)                              d) y = sen(2x)

e) y = sen(x+1/4π)                   f) y = sen(x) + 1                      g) y = sen(x+1/4π) + 1                    h) y = 2sen(x+1/4π) + 1

 

3) Problemas de Aplicacion:

  • Las ventas de computadoras están sujetas a fluctuaciones estacionales. En particular, la venta de la empresa Computer City en 1995 y 1996 se pueden aproximar con la función s(t) = 0.106sen(1.39t + 1.61) + 0.455    (1 ≤ t ≤ 8) en donde t es el tiempo en trimestres (t = 1) representa el final del primer semestre de 1955) y s(t) es la venta de computadoras (ingreso trimestral) en miles de millones de dólares.

a) Use gráficadora o computadora para trazar la curva de ventas como una función de tiempo para el periodo de 2 años que va de enero de 1995 a enero de 1997. Con la gráfica estime el valor de t y los trimestres en los que las ventas fueron mínimas y máximas.

b) Estima el ingreso máximo y mínimo de Computer City por la venta de computadoras.

 

  • Repita el ejercicio anterior usando el siguiente modelo de ventas trimestrales de computadoras de CompUSA: s(t) = 0.0778sen(1.52t + 1.06) + 0.591

 

  • Las ventas de automóviles y camiones ligeros de General Motors en 1996 fluctuaron desde un máximo de $95  billones de dólares en octubre (t = 0) hasta un mínimo de $80  billones de dólares en abril (t = 6). Construya un modelo senoidal para las ventas mensuales s(t)  de General Motors.

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