FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
FUNCION COSENO
Definicion: Se denomina función coseno, y se denota f(x) = cos (x), a la aplicación de la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada generalmente en radianes. Su representacion grafica es:
Caracteristicas:
-
Es una funcion periodica, es decir, se repite un ciclo. Llamamos Periodo al tamaño de un ciclo, en este caso es de 2π
-
Es una funcion acotada, es decir, posee un valor maximo y un valor minimo, en este caso 1 y -1 respectivamente.
Llamamos amplitud a la altura que tiene la grafica a partir de su eje central, en este caso su altura es 1
-
Es continua, por lo tanto su dominio siempre será el conjunto de todos los numeros reales. Dom f= lR
Ejemplo 1: f(x) = 3 cos(2x)
Dada la funcion f(x) = A.cos(Bx)
1) El coeficiente "A" determina la amplitud de la grafica, por lo tanto, en este ejemplo la amplitud de la funcion es A=3
2) El coeficiente "B" se denomina pulsacion y determina cuantos ciclos hay en 2π, por lo tanto, cuanto mas grande sea la pulsacion, mas pequeño será el periodo. Con él podemos determinar el periodo, para saber su tamaño debemos dividir 2π/B, por lo tanto: 2π/2= π. Es decir que la grafica tendra un periodo igual a π. Ya podemos graficar la funcion:
Primero determinamos el area donde la grafica realiza un ciclo completo con:
Periodo = π
Amplitud =3
Dividimos el periodo en 4 partes iguales:
1/4π, 1/2π, 3/4π y π
Marcamos 5 puntos:
Si el coeficiente A>0, el primer punto del ciclo estará ubicado en el eje superior de la funcion, es decir, (0, 3)
El segundo sobre el eje central, en (1/4π, 0)
El tercero sobre el eje inferior, en (1/2π, -3)
El cuarto nuevamente sobre el eje central, en (3/4π, 0)
El ultimo que es el primero del siguiente ciclo nuevamente sobre el eje superior, en (π, 3)
Ejemplo 2: f(x) = -cos(x)
En este ejemplo, dado que A<0, el 1er punto del ciclo esta ubicado sobre el eje inferior.
Ejemplo 3: f(x) = cos(x + π/2)
Dada la funcion f(x) = A.cos(Bx - C) llamamos "angulo de fase" a la division de C/B y determina el desplazamiento horizontal de la grafica
Por lo tanto el angulo de fase del ejemplo es C=π/2 y determina un desplazamiento de la funcion elemental π/2 unidades hacia la izquierda.
Su grafica será:
Ejemplo 4: f(x) = cos (x) + 1
Dada la funcion f(x)=cos(x)+D, el eje central de la grafica elemental sufrirá desplazamiento vertical D unidades hacia arriba o hacia abajo
Por lo tanto en este ejemplo, el eje central de la funcion elemental se desplazara una unidad hacia arriba. Su grafica será:
Analisis completo de la funcion:
Dada la funcion "y = 3cos(1/2x -π/2) - 1" determinaremos todos sus elementos, grafica, dominio, rango e intersecciones con los ejes.
Para poder graficar la funcion primero debemos analizar todos los coeficientes empezando por:
1) D=-1 por lo tanto el eje central de la grafica intersecta al eje de las ordenadas en y=-1
2) La amplitud es A=3 por lo tanto la grafica tendra una altura de 3 unidades hacia arriba del eje central y 3 unidades hacia abajo.
3) Para determinar el periodo debemos dividir 2π por la pulsacion B, es decir: 2π : 1/2 = 4π
4) Por ultimo debemos analizar el desplazamiento horizontal dado C=π/2 y B=1/2, C/B = π, por lo tanto el area del 1er ciclo debemos desplazarlo π unidades hacia la derecha
Con estos datos ya podemos dibujar el area de un primer ciclo, recordemos que debemos dividir el periodo en 4 partes iguales para determinar los puntos en los ejes. Como A>0, el 1er punto del ciclo estará sobre el eje superior.
Interseccion con los ejes
-
Interseccion con el eje y: Calculamos f(0)
-
Intersecciones con el eje x - Ceros o Raices: Calculamos f(x) = 0
Los valores encontrados son los primeros ceros a la derecha del origen de coordenadas, para encontrar todos los ceros restantes debemos sumarle o restarle el periodo. Por lo tanto los ceros serán: xn= 0,22π + 4kπ, y
xn= 1,78π + 4kπ, con k perteneciente a los enteros
Ejercicios:
1) Estudia y representa las siguientes funciones trigonométricas:
a) y = cos(x) b) y = 2cos(x) c) y = -2cos(x) d) y = cos(2x)
e) y = cos(x+1/4π) f) y = cos(x) + 1 g) y = cos(x+1/4π) + 1 h) y = 2cos(x+1/4π) + 1