FUNCION LINEAL
Determinar las distancias que recorrera un automovil que viaja a velocidad constante de 120 k/h
La ecuacion que debemos utilizar para encontrar las distancias es:
d = v.t donde d = distancia (km)
v = velocidad (km/h)
t = tirmpo (h)
El problema nos dice que la velocidad es constante e igual a 120 k/h asi que podemos reescribir la formula como:
d = 120.t
"d" y "t" no son constantes, cambian, varian, por esta razon se llaman variables.
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El tiempo es una variable independiente porque sin importar que haga el automovil el tiempo seguira avanzando, hora tras hora.
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La distancia, en cambio, es una variable dependiente, la distancia que recorra el automovil "dependera" de cuantas horas haya viajado.
Los posibles resultados se pueden calcular haciendo una tabla de valores:
Asignamos las variables tiempo y distancia
A la variable tiempo podemos asignarle el valor que quieramos por tratarse de una variable independiente aunque no podemos asignarle valores negativos ya que no existe el tiempo negativo,
Para encontrar los valores de las distancias asociadas a cada hora solo debemos reemplazar en la formula la variable t por el valor que querramos asi pues:
Para calcular la distancia recorrida a las cero hrs reemplazamos t por cero y calculamos el producto
Para calcular el resto de las distancias volvemos a repetir el proceso reemplazando siempre la variable t por la hora que querramos
Con cada par de valores asignados (t) y calculados (d) formaremos pares ordenados por lo tanto la funcion estara compuesta por:
D = {(0,0) ; (1,120) ; (2,240) ; (3,5,420) ; (5,600)}
Y como ya vimos, cada par ordenado son las coordenadas de puntos en el plano cartesiano, asique podemos graficar la funcion
En toda grafica, el eje de las absisas (eje horizontal) representa a la variable independiente; y el eje de las ordenadas (vertical) representa a la variable dependiente.
El dominio es el conjunto de todos los valores que se le pueden asignar a la variable independiente, como ya dijimos, no existe el tiempo negativo, asique el dominio estara compuesto por todos los valores mayores o iguales a cero. Podemos determinar el dominio observando la grafica de izquierda a derecha.
El rango es el conjunto de todos los resultados posibles de la variable dependiente, al igual que el tiempo, no existe la distancia negativa, el recorrido puede ser hacia una direccion u otra pero la distancia siempre sera positiva, asique el rango tambien estara compuesto por todos los valores mayores o iguales a cero. Graficamente podemos determinar el rango observando la recta de abajo hacia arriba.
El problema que vimos es el ejemplo de una funcion lineal.
Definicion:
Una función lineal es una función polinómica de primer grado cuya representación grafica es una línea recta.
Esta función se puede escribir como: y = mx + b
O es lo mismo decir: f(x) = mx + b
x es la variable independiente, y es la variable dependiente, m y b son constantes, es decir, valores fijos.
Ejemplo: y = 2x-3 y = -3x+2 y = 1/3x y = 5
y = 2x – 4 y = -x + 5 y = 2x - 1/2 y = -2x + 4
Actividad:
Grafica las funciones mostradas en el ejemplo anterior con tabla de valores. Determina dominio y rango.
1) y=2x-3
Tabla de valores: x y = 2 x - 3
-2 y = 2.(-2) - 3 -> y = -7
-1 y = 2.(-1) - 3 -> y = -5
0 y = 2.0 - 3 -> y = -3
1 y = 2.1 - 3 -> y = -1
2 y = 2.2 - 3 -> y = 1
Dominio = IR; Rango = IR
Queda como actividad para el alumno graficar y analizar el resto de las funciones expuestas anteriormente como ejemplo
Analisis de la funcion
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Ecuacion general o implicita
Es la ecuacion de la funcion lineal en la forma Ax + By + C = 0 con A, B y C constantes.
Para analizar la funcion es necesario llevarla a la forma explicita o segmentaria:
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Ecuacion explicita
La particularidad de esta forma es que tenemos despejada la variable dependiente.
El coeficiente lineal "m" representa la pendiente de la recta, es la inclinación de la recta con respecto al eje horizontal.
Definicion:
Si m > 0 el angulo de inclinacion que forma la recta con el eje horizontal es positivo.
La recta es creciente.
Si m < 0 el angulo de inclinacion que forma la recta con el eje horizontal es negativo.
La recta es decreciente.
Si m=0 la recta no tiene pendiente, es decir, no tiene angulo de inclinacion.
La recta es paralela al eje horizontal. Este es un caso particular de la funcion lineal denominada FUNCION CONSTANTE
El termino independiente "b" es la ordenada al origen de la grafica. Es el punto donde la recta al eje vertical.
Grafica
Ejemplo: y = 2 x + 1
3
Como primer paso debemos ubicar la ordenada al origen, es decir, b=1 sobre el eje vertical (y)
Nota: Si la funcion no tiene ordenada al origen entonces b=0. La grafica pasara por el origen.
Una vez ubicada la ordenada al origen debemos graficar la pendiente: m = 2
3
Desde la ordenada nos desplazamos siempre hacia la derecha. El denominador de m indica cuantas unidades debemos desplazar. (En este caso 3) y el numerador nos indicara cuantas unidades debemos desplazarnos hacia arriba (en este caso 2)
Nota: Si m < 0 nos desplazamos siempre a la derecha tantas unidades como indique el denominados y el numerador indicara las unidades que debemos desplazarnos hacia abajo
Graficar una funcion constante es mucho mas sencillo:
Ejemplo: y = 3
La funcion solo tiene un termino independiente, es decir, que la ordenada al origen es b = 3. Ubicamos ese punto en el eje vertical y trazamos la recta horizontal que pasa por ese punto
En todas las funciones lineales, el dominio esta formado por el conjunto de los numeros reales (la recta cubre toda la grafica de izquierda a derecha)
En la mayoria de los casos de las funciones lineales el rango tambien esta formado por el conjunto de los numeros reales (la recta cubre toda la grafica de abajo hacia arriba). Pero no es el caso de la funcion constante, en este caso en particular, el rango esta comprendido por una sola constante: b
Por lo tanto, en este ejemplo: Dominio = IR
Rango = {3}
Rectas paralelas
Dos rectas seran paralelas si tienen igual pendiente
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo, es decir:
Ejemplo:
Una forma practica de demostrar que dos rectas son perpendiculares es haciendo el producto de sus pendientes: De ser perpendiculares, su producto sera igual a -1. Siguiendo el ejemplo de la grafica; 2.(-1 ) = -1 Por lo tanto ambas rectas son perpendiculares.
2
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Ecuacion segmentaria
Es la ecuacion de la funcion lineal en la forma
x + y = 1
A B
donde A y B son los puntos de interseccion con los ejes x e y respectivamente
Intersecciones con los ejes
Existen dos formas de hallar los puntos de interseccion de la recta con los ejes cartesianos:
-
Una es hallar llevar la funcion a su forma segmentaria. Ejemplo:
Como primer paso debemos dejar solo el termino independiente en un miembro (3), para esto pasaremos el termino lineal (-3 x) del miembro derecho al izquierdo. Como es negativo pasa sumando,
4
Dividimos miembro a miembro por 3 para que la ecuacion quede igualada a 1
Aplicamos propiedad distributiva de la division con respecto a la suma y resolvemos
El punto de interseccion de la grafica de la funcion con el eje de las absisas lleva el nombre de raiz, por lo tanto, la raiz de la funcion es 4
El punto de interseccion de la grafica de la funcion con el eje de las ordenadas se llama ordenada al origen, por lo tanto, la ordenada al origen de la funciones es 3
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El otro metodo, que sirve para encontrar las intersecciones en cualquier funcion es; reemplazar en la ecuacion el valor de la variable independiente x o de la variable dependiente y por el valor cero:
Interseccion con el eje y: Buscamos el valor de la funcion para x=0, es decir, f(0)
Interseccion con el eje x: Son las raíces (o ceros) de la función, son los valores de x, para los cuales f (x) = 0 , es decir, y=0
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Positividad
Los intervalos de positividad de una función están formados por todos los valores del dominio que tienen imágen positiva; la grafica de la funcion está por encima del eje horizontal.
Analizaremos la funcion lineal vista anteriormente:
La funcion es positiva en (-∞,4) Significa que para cualquier valor del dominio (x) comprendido en ese intervalo; y > 0.
Los intervalos de negatividad están formados por todos los valores del dominio que tienen imagen negativa; la grafica de la funcion está por debajo del eje horizontal. La funcion es negativa en (4,∞) Es decir, para todo valor de x comprendido en ese intervalo, y < 0.
Ejercicios:
