EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS
Definicion:
Es todo cociente de polinomios P(x) , siempre que el polinomio denominador no sea un polinomio constante (ni nulo) o aquéllas en que las
Q(x)
variables son bases de potencias de exponente negativo.
Ejemplos:
Ejercicio
Determina cuales son expresiones fraccionarias:
Operaciones:
-
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
- Máximo común divisor
Definición: El máximo común divisor de 2 o más polinomios es otro polinomio que cumple:
a) Es divisor de todos los polinomios mencionados anteriormente.
b) De todos los posibles divisores, el mcd es el de mayor grado posible.
Ejemplo:
Calculamos el m.c.d. (x² - 1, x² + 2x + 1, x² +3x + 2)
x² - 1 = (x+1)(x-1) Descomponer factorialmente cada polinomio en polinomios irreducible
x² + 2x + 1 = (x+1)²
x² +3x + 2 = (x+1)(x+2)
m.c.d = x + 1 El máximo común divisor es el polinomio cuya descomposición factorial está formada por los polinomios irreducibles comunes a todos los polinomios con menor exponente.
- Mínimo común múltiplo
Definición: El mínimo común múltiplo de dos o más polinomios es otro polinomio que cumple:
a) Es un polinomio múltiplo de todos los polinomios
b) De todos los polinomios múltiplos es aquel que tiene menor grado posible.
Ejemplo:
Calculamos el m.c.m. (x² - 1, x² + 2x + 1, x² +3x + 2)
x² - 1 = (x+1)(x-1) Descomponer factorialmente cada polinomio en polinomios irreducible
x² + 2x + 1 = (x+1)²
x² +3x + 2 = (x+1)(x+2)
m.c.m = (x + 1)²(x - 1) (x + 2) El mínimo común múltiplo es el polinomio cuya descomposición factorial está formada por los polinomios irreducibles comunes y no comunes a todos los polinomios con mayor exponente.
-
Simplificacion:
La simplificación o reducción de fracciones es la acción de dividir el numerador y el denominador de una fracción por un número o expresion algebraica con el fin de obtener otra fracción equivalente, cuyo cociente tenga el mismo valor numérico.
Podemos decir que una fracción está reducida a sus términos más simples o completamente simplificados cuando no existe ningún factor común al numerador y el denominador.Podemos llamar entonces a este proceso simplificación de factores comunes. Ejemplo:
Para obtener la solución de este ejercicio en primer lugar factorizaremos el numerador y el denominador y seguido a esto procederemos a simplificar los factores comunes a ellos.
Ejercicio
Simplificar las siguientes expresiones algebraicas:
-
Suma y Resta:
- Primer Caso: Expresiones algebraicas fraccionarias con igual denominador
La suma o resta de expresiones algebraicas fraccionarias del mismo denominador es otra expresion algebraica fraccionaria de igual denominador cuyo numerador es la suma o resta de los numeradores.
Ejemplo:
- Segundo Caso: Expresiones algebraicas fraccionarias con distinto denominador.
Cuando los denominadores de las expresiones algebraicas fraccionarias son distintos, debemos encontrar el común denominador entre ellas, éste es el minimo comun multiplo de los denominadores.
Ejemplo:
Primero procedemos reemplazando los denominadores por su equivalente factorizazo.
Calculando el minimo comun multiplo de ellos: mcm (x - 2)(x + 2) y (x + 2) = (x - 2)(x + 2)
Se divide el comun denominador por cada denominador y se multiplica por el numerador.
Aplicamos propiedad distributiva y agrupamos los terminos semejantes.
Por ultimo se factorea el numerador con el fun de simplificar de ser posible.
Ejercicio
Efectuar las siguientes sumas y restas de expresiones algebraicas fraccionarias
-
Multiplicacion:
El resultado es una fracción algebraica cuyo numerador es el producto de los numeradores y su denominador el producto de los denominadores.
P(x) . R(x) = P(x).R(x)
Q(x) S(x) Q(x).S(x)
Ejemplo 1:
Nota: Antes de realizar el producto, es conveniente simplificar las expresiones.
Ejemplo 2:
El primer paso es siempre factorear cuando sea posible
Ya factoreados los polinomios, podemos simplificar, en una multiplicacion se simplifica cruzado, factores de los numeradores con factores de los denominadores.
Por ultimo resolvemos el producto.
-
Division:
El resultado es una fracción algebraica cuyo numerador es el producto del numerador de la 1ra fraccion con el denominador de la 2da; y el denominador es igual al producto del denominador de la 1ra fraccion con el numerador de la 2da.
P(x) : R(x) = P(x).S(x)
Q(x) S(x) Q(x).R(x)
Ejemplo 1:
Nota: Al igual que en la multiplicacion, antes de dividir es conveniente factorear y simplificar.
Ejemplo 2:
El primer paso es siempre factorear cuando sea posible
Ya factoreados los polinomios, podemos simplificar, en division podemos simplificar de dos formas:
-
Simplificar factores del numerador y del denominador de una misma fraccion (a + 1)
-
Simplificar numeradores de distintas fracciones (a - 1)
-
Simplificar denominadores de distintas fracciones.
Por ultimo resolvemos la division multiplicando de forma cruzada.
Ejercicio
Efectuar las siguientes multiplicaciones y divisiones
Realizar las siguientes operaciones combinadas y simplificar los resultados cuando sea posible.
