Factoreo

Definicion

Factorizar una expresión es, escribir la expresión como un producto de sus factores (todos los elementos de una multimplicacion reciben el nombre de "factores"). Por ejemplo: 15 = 3.5, donde los factores 3 y 5 son numeros primos.

Factorizacion de un polinomio es expresar un polinomio de grado en un producto de polinomios primos o irreducibles.

Nota: Un polinomio primo o irreducible es un polinomio que no se puede factorear, es decir, no podemos escribirlo como producto de polinomios de grado inferior a él.

Ejemplo: Dado el polinomio P(x) = 3x²-75, podemos expresarlo en su forma factoriada de la siguiente forma:

Los polinomios primos 3, (x-5) y (x+5) son divisores de P(x), es decir, la division de P(x) en cualquiera de estos polinomios es exacta. Por lo tanto, tambien podemos definir al factoreo de un polinomio, como el producto de sus divisores.

Para todo polinomio P(x) cuyo divisor sea en la forma (x-a), el valor "a" es una raiz de P(x), por lo tanto, los valores 5 y -5 son raíces o ceros de P(x), es decir, son los valores que anulan el polinomio. Si calculamos el valor numerico de P(x) para 5 y -5, este será cero:

P(5) = 3(5)²-75 = 3.25 - 75 = 75 - 75 = 0

P(-5) = 3.(-5)² -75 = 3.25 - 75 = 75 - 75 = 0

Casos de factoreo:

Factor comun:

Nota: Para aplicar este caso debe haber un factor presente en cada término del polinomio.

Ejemplo 1: Dado P(x) = 12x + 18y - 24z, entre sus coeficientes se observa que todos ellos son multiplos de 6, por lo tanto:

12x + 18y - 24z = 6.2x + 6.3y - 6.4z = 6.(2x + 3y - 4z )

Ejemplo 2 : Dado Q(x) = 5a2 - 15ab - 10 ac

El factor común entre los coeficientes es 5 y entre las variables es a, por lo tanto:

5a2 - 15ab - 10 ac = 5a.(a - 3b - 2c )

Ejercicios:

Factor comun en grupo:

Nota: Para aplicar este caso, el polinomo debe tener un numero par de terminos.

Ejemplo: Dado R(x) = 2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b Agrupo los términos que tienen un factor común

R(x) = (2ax - ay + 5a) + (2bx - by + 5b) Saco el factor común de cada grupo

R(x) = a.(2x - y + 5) + b(2x - y + 5) Obtuvimos como resultado dos terminos en los cuales, las expresiones encerradas

entre paréntesis son iguales; por lo tanto, podemos aplicar factor comun.

R(x) = (a + b).(2x -y +5)

Ejercicios:

Diferencia de cuadrado:

Nota: Es una resta, cuyos terminos tienen raices cuadradas.

Ejemplo: Dado S(x) = x² − 9 El primer paso es escribir la diferencia con ambos terminos con exponente cuadratico

S(x) = x² − 3² Factoreamos haciendo uso de las bases de cada termino, x y 3

S(x) = (x - 3).(x + 3) El factoreo se realiza haciendo el producto de la diferencia de las bases por la suma de las mismas.

Ejercicios:

Diferencia de igual potencia:

Ejemplo 1: (potencia impar)

El primer paso es escribir la diferencia con ambos terminos con exponente cuadratico
Factoreamos haciendo uso de las bases de cada termino, x y 3
El factoreo será un producto donde el primer polinomio es de la diferencia de las bases.
El segundo polinomio será una suma donde cada termino tendrá la primera base (x) comenzando desde el primer termino con una potencia menos que la del polinomio original, como T(x) es de grado 3, entonces el primer termino del segundo polinomio será x² y los siguientes terminos tendranuna potencia menor.
Luego a cada termino del segundo polinomio agregaremos multiplicando, la segunda base (3) empezando desde el primer factor con base cero y los siguientes factores tendran potencia mayor

Nota: Otra forma practica de encontrar el segundo polinomio es dividiendo T(x) con (x-3); o aplicando Regla de Ruffini.

Ejemplo 2: (Potencia par)

Si las potencias son pares, tenemos dos opciones para factorear el polinomio:

La primera es haciendolo como ya explicamos anteriormente, donde el 1er polinomio del factoreo será una diferencia y el 2do polinomio tendrá todos sus terminos positivos.

En la segunda opcion, el 1er polinomio del factoreo será una suma; y el 2do polinomio tendrá el primer termino positivo, el 2do negativo, el 3ro positivo, el 4to negativo, y asi sucesivamente.

Suma de igual potencia:

Nota: Solo puede factorearse una suma de igual potencia si sus potencias son impares. Una suma de potencias pares NO puede factorearse en el conjunto de los números reales.

Ejemplo:

En la suma de igual potencia, la forma de trabajar es identica a la diferencia, cuando las potencias son pares, es decir:

Trabajamos con las bases y, el primer polinomio del factoreo será una suma.
El segundo polinomio tendrá sus terminos con signos intercalados, empezando con el 1er termino positivo.

Nota: Recuerda que si este metodo te resulta confuso puedes encontrar el segundo polinomio es dividiendo P(x) con (2x+5)

Ejercicios:

Trinomio cuadrado perfecto:

Nota: El polinomio a factorear debe tener tres terminos, dos de los cuales deben tener raices cuadradas, generalmente si el polinomio esta ordenado serán el primer y el ultimo termino.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Como se observa en el ejemplo, P(x) tiene tres terminos, dos de los cuales (el 1ro y el ultimo) tienen raices cuadradas.

Antes de factorear, debemos hacer una verificacion: El segundo termino debe ser igual al doble producto de las bases del 1er y del ultimo termino del trinomio. (10x = 2.x.5)
Ya verificado el paso anterior, podemos proceder a factorear, el polinomio factoreado será el cuadrado, de la suma o la resta de las bases. (Que el binomio sea una suma o resta dependera del signo del 2do termino del trinomio, en este caso 10x es negativo, por lo tanto el binomio del polinomio factoreado será una resta)

En este ejemplo, el segundo termino es positivo, por ello, el polinomio en su forma factoreada, sera una suma

Ejercicios:

Falso Trinomio:

Nota: Es el caso de tener un trinomio cuadrado que no cumple con la verificacion.

Ejemplo:

Como se ve en el ejemplo, no se cumple la verificacion, por lo tanto no se trata de un trinomio cuadrado perfecto, sino, de un falso trinomio.

Existen dos metodos de resolucion:

1) El primer metodo es aplicable a trinomios cuyo coeficiente principal "a" es igual a 1, pero si no fuese el caso simplemente podemos sacar factor comun "a" y trabajamos con el polinomio resultante.

Consiste en encontrar dos valores x1 y x2 cuya suma cuya suma de igual al coeficiente lineal (3)
Y el producto de esos mismos valores x1 y x2 debe darnos igual al termino independiente (2)

El polinomio factoreado será P(x) = a(x+x1).(x+x2)

Nota: Este metodo es un procedimiento mental mas que algebraico, donde los valores buscados se encuentran por tanteo.

2) El segundo método es haciendo uso de la Formula de Bascara. Esta es:

Dado el polinomio completo y ordenado P(x) = ax² + bx + c, siendo:

a = Coeficiente principal.

b= Coeficiente lineal.

c= Termino independiente

Siguiendo el ejemplo de la derecha, P(x) = x² + 3x + 2

a = 1

b= 3

c= 2

Resolvemos la formula y encontramos (en este caso) dos resultados:

x1=-1 cuando sumamos el numerador y,

x2=-2 cuando restamos el numerador

El polinomio P(x) en su forma factoreada será de la forma:

P(x) = a(x-x1).(x-x2)

es decir: P(x) = (x + 1).(x + 2)

Nota: El radicando de la formula se denomina discriminante y se simboliza como: ∆ = b² - 4ac

Dependiendo de como sea el discriminante, el polinomio será:

Si ∆ > 0 entonces el polinomio es un falso trinomio

Si ∆ = 0 entonces el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto

Si ∆ < 0 entonces el polinomio no puede factorearse en el conjunto de los números reales.

Ejercicios:

Cuatrinomio Cubo Perfecto:

Nota: Como el nombre lo indica, el polinomio debe tener cuatro terminos, dos de los cuales deben tener raices cubicas.

Ejemplo:

Como se observa en el ejemplo, el polinomio tiene cuatro terminos y dos de ellos tienen raices cubicas, pero para factorear dicho polinomio debemos hacer dos verificaciones:

1) El triple del cuadrado de la primera base por la segunda base debe darnos como resultado el segundo termino del cuatrinomio: 3.(x²).(2y) = 6x²y

2) El triple de la primera base por el producto del cuadrado de la segunda base debe darnos como resultado el tercer termino del cuatrinomio: 3.(x).(2y)² = 12xy²

Si se cumplen estas dos verificaciones, podemos proceder a factorear el cuatrinomio, éste será el cubo de la suma o resta de las bases. (Que el binomio sea suma o resta dependerá del signo que posean las bases)

Ejemplo 2:

Ejercicios:

Metodo de Gauss:

El metodo de Gauss consiste en determinar las posibles raices del polinomio y, hacer sucesivas divisiones hasta determinar cuales son o no son raices reales de dicho polinomio.

Ejemplo: P(x) = 2x³ - 3x² - 11x + 6

Divisores del término independiente (6): p = 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
Divisores del coeficiente principal (2): q = 1, -1, 2, -2

Posibles raíces del polinomio:

p/q = 1, -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 3, -3, 3/2, -3/2, 6 y -6

El polinomio podría ser divisible por alguno de estos binomios:

(x - 1), (x + 1), (x + 1/2), (x - 1/2), (x -2), (x + 2), (x + 3), (x - 3),

(x + 3/2), (x - 3/2), (x + 6) o (x - 6).

P(x):(x + 2) = C(x) es una division exacta, entonces podemos escribir a P(x) como P(x) = (x + 2).C(x), es decir:

P(x) = (x + 2).(2x² - 7x + 3)

C(x) = 2x² - 7x + 3

Divisores del término independiente (3): p = 1, -1, 3, -3

Divisores del coeficiente principal (2): q = 1, -1, 2, -2

Posibles raíces del polinomio:

p/q = 1, -1, 1/2, -1/2, 3, -3, 3/2 y -3/2

El polinomio podría ser divisible por alguno de estos binomios:

(x - 1), (x + 1), (x + 1/2), (x - 1/2), (x + 3), (x - 3), (x + 3/2), o

(x - 3/2),

C(x):(x -3) es una division exacta, entonces podemos escribir a C(x) como C(x) = (x -3).(2x - 1)

Por lo tanto P(x) = 2x³ - 3x² - 11x + 6

P(x) = (x + 2).(2x² - 7x + 3)

C(x)

P(x) = (x + 2).(x -3).(2x - 1)

Ejercicios:

Partiendo del coeficiente principal y del termino independiente del polinomio, determinaremos los divisores de cada uno de ellos.

Las posibles raices del polinomio se calculan dividiendo cada divisor del termino independiente (p) por todos los divisores del coeficiente principal (q)

Probamos hacer varias de esas divisiones, hasta encontrar una division esacta, es decir, que el resto sea igual a cero. Como los divisores son de la forma (x-a) podemos dividir haciendo uso del Metodo de Ruffini. (Queda en ustedes realizar la division y verificar los resultados).

C(x) es un falso trinomio, podemos factorearlo usando dicho metodo pero a fines de aprender el metodo de Gauss repetiremos el proceso.