FUNCION RACIONAL
Definicion
Una funcion racional generica es una funcion en la forma f(x) = P(x) donde P(x) y Q(x) son polinomios y el grado de Q(x) > 0
Q (x)
Ejemplos:
La grafica de una funcion racional se denomina hiperbola
En este apartado analizaremos solo funciones racionales con denominador de grado 1 y numerador de grado cero como f(x) = 1 o de grado 1 como g(x) = x-3 x
x+1
Analisis de la funcion
-
Dominio
Como no existe la division en cero, el dominio de toda funcion racional esta comprendido por todos los reales que no anulen el denominador.
Por ejemplo: el dominio de f seran todos los reales menos el cero, es decir: Dom f = IR - {0}
el dominio de g seran todos los reales menos (-1), es decir: Dom g = IR - {-1}
Para determinar el dominio de una funcion racional, debemos averiguar que valores anulan denominador, para ello igualamos el denominador a cero
Determinar el dominio de h:
Igualamos el denominador a cero y despejamos x
Los valores x = 2 y x = -2 anulan el denominador, por lo tanto seran excluidos del dominio: Dom h = IR - {2, -2}
-
Asintota vertical
Los valores que son excluidos del dominio son representados en la grafica como una asintota vertical. Es una recta vertical imaginaria por la cual, la grafica de la funcion se acerca pero nunca la intersecta.
Las asintotas de los ejemplos son: A.V. de f: x= 0
A.V. de g: x=-1
A.V. de h: x1=-2 y x2=2
-
Asintota horizontal
Dada la funcion f(x) = ax+b la asintota horizontal sera y = a/c
cx+d
Ejemplo 1:
f(x) = 3x+5
x+1
A.H.: y = 3
1
Y = 3
Ejemplo 2:
g(x) = 2
x+1
La funcion se puede escribir como: g(x) = 0x+2
x+1
A.H.: y = 0
1
y = 0
-
Rango
El rango de toda funcion racional esta compuesto por todos los reales menos los valores de la asintota horizontal
Rango f = IR - {3}
Rango de g = IR - {0}
La funcion racional tambien puede escribirse en la forma donde:
-
La asintota vertical intersecta al eje de las absisas en x = h
-
La asintota horizontal intersecta al eje de las ordenadas en y = k
-
Si el numerador es negativo, a < 0 la funcion sera creciente en todo su dominio y,
si el numerador es positivo, a > 0 la funcion sera decreciente en todo su dominio
Para llevar la funcion generica f(x) = P(x) a esta forma debemos realizar la division de los polinomios. Ejemplo:
Q(x)
Sea la funcion f(x) = 3x+5 procederemos a dividir 3x+5 en x+1
x+1 3x+5 l x+1
3x+3 3
(2)
La funcion estara dada por: f(x) = 2 + 3 donde la A.V= -1 y la A.H= 3
x+1
-
Grafica
Para graficar una funcion racional es necesario realizar una tabla de valores, pero primero es conveniente encontrar las asintotas y asignarles valores a la variable independiente (x) que esten a la izquierda y a la derecha de la asintota vertical.
Como ejemplo graficaremos la funcion vista anteriormente, dado que la asintota vertical es x = -1 le asignaremos a la tabla de valores 3 valores menores a -1 y 3 valores mayores a -1
-
Intersecciones con los ejes
Ordenada al origen: Calculamos f(0)
f(x) = 2 + 3 -----> f(0) = 2 + 3
x+1 0+1
f(0) = 5
Raices o ceros: Igualamos f(x)=0
2 + 3 = 0 Despejamos "x"
x+1
2 = -3
x+1
2 = -3(x+1)
2 = -3x - 3
x = -5/3
-
Crecimiento: La funcion es decreciente en todo su dominio
-
Positividad: La funcion es positiva en (-∞ , -5/3) U (-1 , ∞)
La funcion es negativa en (-5/3 , -1)
Ejercicios:
Hallar dominio, rango, ecuaciones de las asitotas , intersecciones con los ejes, crecimiento, positividad y grafica de las siguientes funciones.
