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FUNCION EXPONENCIAL

Definicion:

   Llamamos funcion exponencial a la funcion del tipo:

   Es decir, toda funcion exponencial será una funcion de base b y exponente x, donde b es cualquier constante real mayor que cero y distinta de 1.

 

Ejemplo:

Ejemplo 2:

Como se observa en la grafica, la funcion g(x) se encuentra desplazada 3 unidades a la derecha de f(x) debido a que en el exponente de g(x) agregamos una constante (3) restando a la variable independiente x

 

Generalizando:

La funcion exponencial de la forma                         es una traslacion horizontal de la funcion generica

Observacion: 

  • Si en la funcion se observa una resta en el exponente, entonces la grafica se traslada hacia la derecha.

 

  • Si en la funcion se observa una suma en el exponente, entonces la grafica se traslada hacia la izquierda.

Ejemplo 3:

La funcion de la forma                            es una traslacion vertical de la funcion gererica

 

Observacion: 

  • Si el termino independiente "k" es positivo, entonces la grafica se traslada hacia arriba.

  • Si el termino independiente "k" es negativo, entonces la grafica se traslada hacia abajo.

 

Tambien observamos que viendo la grafica de la funcion h(x) de derecha a izquierda, notamos que esta se aproxima a y=1 pero nunca la intersecta, es decir, y=k es la Asintota Horizontal de dicha grafica.

De igual manera, en f(x) la grafica se aproxima a y=0, ya que su funcion no tiene termino independiente, es decir, k=0, por lo tanto, su Asintota Horizontal es y=0

Ejemplo 4:

Si a la funcion exponencial en su forma generica                         le agregamos un factor "a" que multiplique al termino exponencial quedando de la forma:

 

 

Observamos que:

  • Si a > 0 la grafica de la funcion estará por ensima de su Asintota Horizontal y, 

  • si a < 0 la grafica de la funcion estará por debajo de su Asintota Horizontal.

Ejemplo 5:

Grafica y Analisis completo

  • Para graficar una funcion exponencial es necesario realizar una tabla de valores, y para ello primero debemos determinar su dominio, toda funcion exponencial tiene como dominio al conjunto de los numeros reales, es decir. Dom = lR

 

Ejemplo:

  • Asintota Horizontal: Como se observa en la grafica, el termino independiente de la ecuacion que define la funcion determina la A.H. esta es y=-2

  • Crecimiento: La grafica de toda funcion exponencial será creciente o decreciente en todo su dominio, en este ejemplo la grafica es decreciente en todo su dominio.

  • Intersecciones con los ejes

    Interseccion con el eje y (Ordenada al origen): (Calculamos f(0))

       Ya se resolvió en la tabla de valores; la ecuacion cuando x toma el valor cero es: y = -1

  • Interseccion con el eje x (Ceros o raices): (Calculamos f(x)=0)

Nota: Repasar ecuacion exponencial

 

  • Positividad: La funcion es positiva en (-∞ , -1)

                              La funcion es negatica en (-1 , ∞)

 

  • Rango: El rango será determinado por la asintota horizontal; Rgo f = (-2,∞)

 

Ejercicios:

     

       1) Hallar dominio, rango, ecuaciones de la asíntota horizontal , intersecciones con los ejes, crecimiento, positividad y graficar las siguientes funciones.

2) Hallar “m” para que la función corte al eje y en 3

3) Asociar cada una de las siguientes funciones con su grafico correspondiente:

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