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FUNCION VALOR ABSOLUTO

Definicion:

    Una funcion valor absoluto es una funcion en rama del tipo y = a|x-h| + k donde:

    h = desplazamiento horizontal

    k = desplazamiento vertical

    V = (h,k) vertice de la grafica

    Si a > 0 entonces la grafica de la funcion se abre hacia arriba

    si a < 0 la grafica de la funcion se abrira hacia abajo

Ejemplo:

Vamos a graficar la funcion y = |4-2x| - 1

Primero debemos llevarlo a la forma y= alx-hl+k; es decir:

                                  y = |2 - 2x| - 1                     Primero cambiaremos de lugar los terminos dentro del valor absoluto respetando sus signos

           

                                  y = |-2x + 4| - 1                   Debemos extraer el coheficiente lineal "-2" del valor absoluto, para ello 1ro debemos sacar                                                                                   factor comun (-2)

                                  y = |-2(x - 2)| - 1                 Aplicamos la propiedad distributiva del valor absoluto con respecto al producto

 

                                  y = |-2|.|x - 2| -1                 El valor absoluto de -2 es 2, por lo tanto la funcion queda expresada como:

 

                                  y = 2.|x - 2| - 1

 

Segun lo visto anteriormente podemos afirmar que el vertice de la grafica es V = (2,1) y como a=2 es positivo la grafica se abre hacia arriba.     Pero para fraficarla con esactitud debemos escribir la funcion en partes para x < h y para x > h

Si realizamos en cada rama propiedad distributiva y resolvemos un poco obtendremos dos funciones lineales con su dominio restringido por h:

 

                                        y1 = -2x + 3 , x<2

                                        y2 = 2x - 5 ,   x>2

Analisis de la funcion:

 

  • Dominio: El conjunto dominio de toda funcion valor absoluro esta compuesta por todos los reales, es decir: Dom f = lR

 

  • Imagen: La imagen la determina el valor de k, es decir: si a>0 entonces la imagen será: Rgo f= [k,∞)

                                                                                                 si a<0 entonces la imagen será: Rgo f = (-∞,k)

                        En la funcion de la grafica anterior se observa que su imagen es: Rgo f = [-1,∞)

  • Vertice: Ya dijimos q es el punto con coordenadas V=(h,k) es decir, V(2,-1)

 

  • Eje de simetria: Es una recta vertical imaginaria determinada por "h"que divide la grafica en dos partes iguales. En nuestro ejercicio es x=2

  • Valor Minimo o Maximo: Si a<0 tendra como Valor Maximo y=k, si a>0 tendra como Valor Minimo y=k. En nuestro ejemplo, el Valor Minimo es y=-1

  • Crecimiento: La funcion es decreciente en (∞,2) y creciente en (2,∞)

 

  • Ordenada al origen o Interseccion con el eje y: Al igual que en funciones anteriores debemos calcular f(0)

              y = 2.|x - 2| - 1          Reemplazamos la variable independiente "x" por cero

              y = 2.|0 - 2| - 1

                    y = 2.|-2| - 1                        El valor absoluto de -2 es: l-2l=2

                    y = 2.2 - 1

                    y = 3

  • Raices o Ceros de la funcion: Son los valores de la variable independiente (x) que anulan la funcion, es decir y=0

              2.|x-2|-1 = 0                      Para resolver una ecuacion con valor absoluto primero debemos despejar dicho valor absoluto

                     2.|x - 2| = 1

                        |x - 2| = 1/2                  Aplicamos la definicion de valor absoluto

            x-2 = 1/2             x-2 = -1/2

                x= 1/2 + 2           x = -1/2 + 2

                x= 5/2                x = 3/2

 

  • Positividad: Los ceros determinan los intervalos de positividad:

                            La funcion es positiva en (-∞ , 3/2) U (5/2 , ∞) es decir, que para cualquier valor que le asignemos a la variable independiente                                                                                                           "x" dentro de ese intervalo obtendremos como resultado un valor positivo de la                                                                                                         variable dependiente "y"

                            La funcion es negativa en (3/2 , 5/2) es decir, que para cualquier valor que le asignemos a la variable independiente "x" dentro                                                                                           de ese intervalo obtendremos como resultado un valor negativo de la variable dependiente                                                                                       "y"

   Ejercicios:

  Grafica y analiza las siguientes funciones:

    a) y = -3|x - 1| + 8

    b) y = |x + 8| + 1

    c) y = -|x - 1| + 8

    d) y = 3|x + 8| + 1

    e) y = |4x - 1|

    f) y = - |2 - 2 x|

    g) y = - |3x + 2| + 1

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