PROBABILIDAD
Definición
La probabilidad es la medida de la posibilidad de que un evento tenga lugar y se calcula dividiendo el número de sucesos favorables (A) entre el número total de sucesos totales posibles
Nota:
La medida de una probabilidad P(A) siempre será un número comprendido entre 0 y 1, es decir 0 < P(A) < 1
También puede estar comprendido entre 0 y 100 si se mide en tanto por ciento, es decir P(A).100, donde 0% es ninguna posibilidad de que ocurra el evento favorable y 100% es cuando el evento sucederá si o si
Ejemplo 1.
Si arrojamos un dado, cual es la probabilidad de que caiga un cuatro?
El espacio muestral es:
Por lo tanto, la posibilidad de que caiga un 4 P(4) es de una posibilidad de entre 6 opciones totales, es decir:
Se lee en tanto por ciento: La probabilidad de que caiga 4 es del 16,6 por ciento
Se lee en tanto por uno: La probabilidad de que caiga 4 es de 0,16 en 1
La probabilidad de que un evento “no ocurra” equivale a 1 menos el valor de A y se denota con la letra Q
Ejemplo 2.
En una bolsa de caramelos tenemos, 7 caramelos de frutilla, 5 de limón y 4 de naranja, cual es la probabilidad de que el caramelo que saque no sea de limón?
En este caso nuestro espacio muestral está formado por 16 caramelos y nuestro número de casos favorables es de 5, por lo tanto:
Regla de la adición
La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que no pueden ocurrir al mismo tiempo.
P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente.
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes.
Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B
Ejemplo 3.
Siguiendo el ejemplo anterior, para calcular la probabilidad de que al sacar un caramelo éste no sea de limón, podemos calcular de probabilidad de extraer uno de frutilla y sumarle a la probabilidad de extraer uno de naranja, es decir:
Frutilla: P(A) = 7/16
Naranja: P(B) = 4/16
P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) (A y B son mutuamente excluyente)
= 7/16 + 4/16
= 11/16
Como se puede observar, llegamos a la misma probabilidad que calculamos haciendo P(Q) = 1 - P(A)
Ejemplo 4.
En una clase de 30 estudiantes, 21 han aprobado matemáticas, 15 han aprobado física y 12 han aprobado ambas. ¿Cuál es la probabilidad de que si escogemos un estudiante al azar, haya aprobado matemáticas o física?
Primero calculamos la probabilidad de cada evento por separado
Aplicamos la suma en conjuntos no excluyentes
La probabilidad de escoger un alumno que haya aprobado solo matemática o física es del 0,8 o 80%
Regla de la multiplicación
La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.
P(A y B) = P(A∩B) = P(A) . P(B) si A y B son independientes.
P(A y B) = P(A∩B) = P(A) . P(B/A) si A y B son dependientes.
Ejemplo 5.
¿Cuál es la probabilidad de lanzar una moneda y obtener cara dos veces seguidas?
Espacio muestral = 2 {cara, cruz}
A = Salga cara entonces: P(A) = 1/2
B = Salga cara entonces P(B) = 1/2
En este caso los eventos son independientes, por lo tanto:
P(A y B) = P(A∩B) = P(A) . P(B)
= 1/2 . 1/2
= 1/4
= 0,25
= 25%
Ejemplo 6.
Un lote contiene “100” ítems de los cuales “20” son defectuosos. Los ítems son seleccionados uno después del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos ítems son seleccionados sin reemplazamiento (significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿Cúal es la probabilidad de que los dos ítems seleccionados sean defectuosos?
Sea los eventos A1 = {primer ítem defectuoso}, A2 {segundo ítem defectuoso} entonces dos ítems seleccionados serán defectuosos, cuando ocurre el evento A1∩A2 que es la intersección entre los eventos A1 y A2. De la información dada se tiene que:
P(A1) = 20/100
P(A2/A1) = 19/99
Así probabilidad de que los dos ítems seleccionados sean defectuosos es:
P(A1∩A2) = P(A1) . P(A2/A1)
= (20/100) . (19/99)
=19/495
= 0.038
Ahora suponga que selecciona un tercer ítem, entonces la probabilidad de que los tres ítems seleccionados sean defectuosos es
P(A1∩A2∩A3) = P(A1) . P(A2/A1) . P(A3/A1∩A2)
= (20/100) . (19/99) . (18/98)
= 19/2695
= 0.007
Le lee: Probabilidad del evento A2 dado el evento A1
Ejercicios
