COMBINATORIA
Definición
La combinatoria es una rama de las matemáticas discretas que estudia los métodos para contar, ordenar y agrupar elementos de un conjunto finito bajo restricciones específicas. Se enfoca en determinar el número total de formas posibles de organizar objetos, analizando si el orden importa o no
Ejemplo:
Cuantos números de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, y 4 sin repetir los dígitos?
123, 124, 134, 213, 214, 234, 243, 312, etc..
Como se ve en el ejemplo, podrimos enumerarlos uno por uno pero no resultaría muy práctico, para ello tenemos diferentes fórmulas para determinar un número de combinaciones posibles
VARIACION
Las variaciones son agrupaciones ordenadas de una parte o del total de los elementos de un conjunto finito, donde el orden importa y existen dos tipos de variaciones, una donde los elementos se repiten y otra donde no.
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VARIACION CON REPETICION
Si en el ejemplo anterior nos hubieran pedido todos los números de 3 cifras que se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3 y 4 tendríamos:
Como el enunciado no especifica si los dígitos se repiten o no debemos asumir que si podemos repetirlos, por lo tanto:
Para el 1er digito tenemos 4 opciones: 4
Para el 2do digito tenemos 4 opciones nuevamente: 4
Y para el 2do digito tenemos 4 opciones también: 4
O sea tenemos: 4x4x4 = 64
Podemos generalizar como:
Y se lee como la variación de m elementos agrupados de n
Siguiendo nuestro ejemplo tendríamos:
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VARIACION SIN REPETICION
Se seleccionan k elementos de un total de n, sin repetir ninguno.
Por ejemplo: Elegir presidente y vicepresidente y vocal de un grupo de 10 personas.
Para la primera persona tengo 10 opciones: 10
Para la segunda persona me quedan solo 9 opciones: 9
Para la tercera persona me quedan solo 8 opciones: 8
O sea, tenemos 10x9x8 = 172 variaciones
Podemos generalizar como:
Y se lee como la variación de n elementos agrupados de k
Siguiendo nuestro ejemplo tendríamos:
PERMUTACION
La permutación es un caso especial de la variación donde se toman todos los elementos del conjunto y se diferencian en 3 tipos:
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PERMUTACION SIN REPETICION
Como ya dijimos, la permutación es un caso especial de variación, o sea:
Ejemplo: Ordenar 3 libros diferentes en un estante
P3 = 3! = 6
Por lo tanto, podemos ordenar los 3 libros diferentes de 6 formas distintas
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PERMUTACION CON REPETICION
Cuando algunos elementos son iguales. Siguiendo el ejemplo anterior, seria con 2 libros iguales y uno diferente. Su formula es:
Ejemplo: De cuantas maneras se pueden ordenar letras de la palabra BANANA
En total tenemos 6 letras donde se repite la letra A 3 veces y la letra N 2 veces, por lo tanto:
Por lo tanto, podemos ordenar 60 palabras distintas
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PERMUTACIONES CIRCULARES
Cuando los elementos se ordenan en círculo. Como no hay un inicio fijo, se fija un elemento y se permutan los demás, por lo tanto su formula sería:
Pc = (n-1)!
Ejemplo: 5 amigos se sientan a cenar en una mesa circular. ¿De cuántas formas diferentes pueden ubicarse?
Pc = (5-1)!
Pc = 4!
Pc = 4.3.2.1
Pc = 24
COMBINACION
Una combinación es una agrupación no ordenada de una parte de los elementos totales. Su formula es:
Ejemplo: En un aula hay 10 alumnos y el profesor debe elegir a 3 alumnos para representar a la escuela en un torneo de matemáticas. ¿Cuántos grupos distintos se pueden formar?
O sea, el profesor puede formar 120 grupos diferentes con sus 10 alumnos
Ejercicios
