CONJUNTO DE NUMEROS NATURAIS
DEFINIÇÃO:
Os números naturais são os números usados para contar (cardinais) os elementos de um conjunto e são denotados pela letra |N. O conjunto pode ser definido por "extensão" da seguinte maneira e lê-se assim: O conjunto |N (dos naturais) é formado pelos elementos um, dois, três, etc.
Este conjunto cumpre as seguintes características:
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O número 0 é um número natural.
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Entre dois números naturais consecutivos não pode haver outro natural.
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Para todo número natural, existe um sucessor.
Exemplo:
Como o 0 pertence ao conjunto dos números naturais, então o 1 também pertence ao conjunto dos números naturais.
Como o 1 pertence ao conjunto dos números naturais, então o 2 também pertence ao conjunto dos números naturais.
Portanto, podemos observar que o conjunto é "infinito".
PROPRIEDADES:
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A soma e a multiplicação de números naturais são operações comutativas e associativas, ou seja:
∀ a, b, c ∈ lN:
axb = bxa
Para todo número a, b, c pertencente ao conjunto dos Naturais:
Ao multiplicar a x b obtenho como resultado o mesmo que se multiplicasse b x a.
Exemplo: 3x5 = 5x3 = 15
a+b = b+a
a+(b+c) = (a+b)+c
ax(bxc) = (axb)xc
Exemplo: 3+5 = 5+3 = 8
Exemplo: 2+(4+7) = (2+4)+7
2 + 11 = 6 + 7
13 = 13
Exemplo: 2x(3+5) = (2x3)x5
2 x 15 = 6 x 5
30 = 30
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Os números naturais são "ordenados". Ou seja: entre dois números naturais podemos estabelecer qual é maior ou menor.
Exemplo: 5 < 7
7 > 5
Lê-se: O número 5 é menor que o número 7.
El número 7 é maior que o número 5
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Existe um elemento neutro na soma (0) e no produto de números naturais (1):
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A todo número natural, se o somarmos com 0, obtemos o mesmo número natural.
∀ a ∈ lN: a+0=a
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A todo número natural, se o multiplicarmos por 1, obtemos o mesmo número natural.
∀ a ∈ lN: ax1=a
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Distributiva do produto em relação à soma
a.(b + c) = a.b + a.c
Exemplo: 5 x (3 + 8) = 5 x 11
5x3 + 5x8 = 55
15 + 40 = 55
Propriedades das potências:
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Todo número elevado à potência zero é igual a um.
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Todo número elevado à potência um é igual ao próprio número.
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Produto de igual base.
Exemplo:
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Divisão de potências de mesma base.
Exemplo:
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Potencia de potencia.
Exemplo:
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Propiedad distributiva de la potencia con respecto al producto y la división.
Exemplo: 1
Exemplo 2:
Nota: Todas as propriedades da potência também se aplicam às raízes. Quando analisarmos o conjunto dos números racionais , explicaremos em detalhes o porquê.
Resolvendo operações combinadas:
As operações combinadas são aquelas em que aparecem várias operações aritméticas para resolver.
Exemplo 1:
Para obter o resultado correto, deve-se separar em termos:
Um termo é todo número ou operação aritmética que se encontra entre uma soma ou subtração.
Deverá ficar da seguinte forma:
4 + 24 - 2 = 26
No caso de haver, além dos parênteses, colchetes e chaves, devemos resolver primeiro os parênteses, depois os colchetes e, por último, as chaves.
Exemplo 2:
1- Primeiro resolvemos a subtração que se encontra dentro dos parênteses. (Observe que, ao obter o resultado da subtração, podemos eliminar os parênteses).
2- Para resolver o colchete, devemos separar em termos dentro dele e resolver primeiro o produto.
3- Agora podemos resolver a soma que se encontra dentro dos colchetes e eliminá-los.
4- Resolvemos a subtração que restou entre chaves e, finalmente, a divisão.
{90 − [30 + 6 (19 − 12)]} : 2 =
{90 − [30 + 6 .7]} : 2 =
{90 − [30 + 42]} : 2 =
{90 − 72} : 2 =
18 : 2 = 9
Exercicios:
1) Calcule:
a) (6+3)·5 =
b) (7+6)·3 =
c) 3+3·3 =
d) 6+4·8=
e) 2·8+3·5 =
f) 6·7+8·5 =
g) 9+0 =
h) 8·1 =
i) 7·0 =
j) 7:0 =
2) Calcule usando a propriedade distributiva:
a) (4+5)·6 =
b) (3+8)·8 =
c) (8+2)·6 =
d) (3+8)·8 =
e) (8+2)·6 =
3) Resolve:
a) 27 + 3 · 5 − 16 =
c) 27 + 3 − 45 : 5 + 16 =
e) 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 20 : 4 =
g) 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 20 : 4 =
i) (2 · 4 + 12) (6 − 4) =
b)3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 3 =
d) 3 · 9 + (6 + 5 − 3) − 12 : 4 =
f) 2 { 4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
h) (15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) − 5 + (10 − 4) =
j) {5 + 10 [20 : 5 − 2 + 4 (5 + 2 · 3)] − 8 · 32} + 50 (6 · 2)
4) Escreva na forma de uma única potência:
