CONJUNTO DE NÚMEROS INTEIROS
Definição
Os números inteiros são o conjunto de todos os números inteiros positivos (naturais) junto com o 0 e os inteiros negativos (oposto dos números naturais) e são representados pela letra Z.
ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}
Os 3 pontos no início e no fim do conjunto representam uma continuação infinita, ou seja, existem infinitos números inteiros negativos e positivos.
Propriedades:
Nos inteiros cumprem-se todas as propriedades já vistas com os naturais. Mas além destas, devemos adicionar mais algumas:
-
Existência de oposto:
∀ a ∈ Z, ∃! -a / a + (-a) = 0
Para todo número perteneciente al conjunto de los enteros, existe un único número opuesto tal que la suma de ambos da cero.
Aprendendo a somar e subtrair:
Os números inteiros nasceram da necessidade de representar transações econômicas, ou seja, se uma pessoa tem dinheiro, por exemplo R$ 10, isso é representado com +10 e se "deve" R$ 3, é representado como -3.
Consideremos algumas situações:
-
Se você "deve" R$ 3 (-3) e "paga" com R$ 10 (+10), quanto dinheiro recebe de troco?
Analisa-se da seguinte maneira: (Deve R$ 3 e paga R$ 10) -3 + 10 = 7
Você recebe R$ 7 de troco, ou seja, +7 (não é necessário colocar o sinal positivo no resultado).
-
Agora, se você tem -7 + 3: Isto é, você "deve R$ 7" (-7) e "paga R$ 3" (+3) e continua devendo R$ 4, ou seja: -7 + 3 = -4.
-
O que acontece se você "deve" R$ 3 e depois "deve" outros R$ 4, isto é: -3 - 4 = -7. No total, você "deve" R$ 7.
Quando as operações são com números muito grandes e não podemos resolvê-los mentalmente, analisando-os como se trabalhássemos com dinheiro, devemos seguir certas regras:
Quando os números forem de mesmo sinal, devemos somá-los e o nosso resultado terá o mesmo sinal que os números originais.
Exemplos: +23 + 15 = +38
-13 - 21 = -34
Se os números forem de sinais diferentes, devemos subtrair o maior pelo menor e o resultado terá o sinal do maior.
Exemplo 1) -15 + 23 = 8 23
- 15
+8
Exemplo 2) 15 - 23 = -8 23
- 15
-8
Note que ambos os exemplos têm os mesmos números, mas com sinais diferentes. No exemplo 1), o número maior é o 23 (de sinal positivo), por isso o resultado é de sinal positivo. No exemplo 2), o número maior (23) tem sinal negativo, por isso o resultado deve ser negativo.
Exercícios:
1) Ordenar de menor para maior e localizar na reta numérica:
a) -2 0 -6 1 7 2 -8
b) Os números maiores que -2 e menores que 4:
c) Quatro números menores que -3, (x < -3):
2) Complete:
( -2 < x < 4 )
a) Se a = 2 ⇒ -a =
b) Se b = -3 ⇒ -b =
c) Se c = 0 ⇒ -c =
3) Resolva mentalmente os seguintes cálculos:
a) -3 + 4 =
b) +9 – 8 =
c) -8 + 14 =
d) -8 + 3 =
e) +12 – 24 =
f) -9 + 9 =
g) 2 – 10 =
h) 10 – 2 =
4) Resolva os seguintes problemas:
a) Aristóteles nasceu no ano 384 a.C. Viveu 62 anos. Em que ano ele morreu?
b) Pablo pegou o elevador no 15º andar, subiu 4 andares, desceu 8, subiu 6, desceu 9 e, finalmente, subiu 2 andares.
-
Indique o seu percurso através de uma operação.
-
Em que andar ele parou?
c) Julian avançou 7 km por uma estrada, depois recuou 4 km e, por último, avançou outros 2 km. Pablo recuou 2 km, avançou 6 km, recuou 2 km e depois avançou mais 4 km. Se ambos partiram do mesmo lugar:
-
A que distância do ponto de partida está cada um?
-
Quem percorreu mais quilômetros?
-
A que distância se encontra um do outro?
5) Complete os dados que faltam na seguinte tabela:
Multiplicação:
Para multiplicar dois ou mais números inteiros, devemos aplicar a regra dos sinais:
Se os números tiverem o mesmo sinal, o resultado será positivo: + . + = + e
− · − = +
Exemplo 1: 3 . 4 = 12
Lembre-se que, nos números positivos, não é necessário antepor o sinal.
Exemplo 2: -3 . (-4) = 12
O parênteses no -4 é necessário para separar o produto do sinal negativo.
Exemplo 3: - (-2) = 2
O sinal negativo que se encontra à esquerda do parênteses indica que temos um -1 multiplicando o número dentro do parênteses.
-1.(-2) = 2
-
Se os números tiverem sinais diferentes, o resultado será negativo: + . − = −
− · + = −
Exemplo 1: 3 . (-4) = -12
Exemplo 2: -3 . 4 = -12
Exemplo 3: -(4) = -1 . (+4) = -4
Ejercicios:
6) Calcula los siguientes productos:
a) 5 · (- 3) =
b) 7 · (- 6) =
c) (- 9) · (- 5) =
e) 5 · (- 10) =
f) (- 7) · (- 12) =
g) 13 · (- 2) =
i) (- 14) · (- 5) =
j) (- 17) · 8 =
k) 19 · (- 7) =
m) [(-3) · (-2)] · (-4) =
n) [(-5) · (+4)] · (-2) =
o) [(-2) · (-8)] · (+5) =
d) (- 8) · (- 7) =
h) (- 16) · (- 3) =
l) (- 20) · (- 8) =
p) (-5) · [(-7) · (-12)] =
7) Complete a seguinte tabela:
8) Resolver os seguintes exercícios combinados:
a) (-13) – (-6) =
c) 16 + (-3) + 4 =
e) – (-2) + (-3 + 5 - 1) - (-2 + 3) =i) 2 – (3 + 5) – [1 – (2 + 4) – (3 + 1)] =
g) [36 : (-9) + (-10)] : 7 – [3 + (-2) . 3] =
i) (-8) : (-2) + (-6) . (-7 + 3 - 9) - (-2) . (-1) =
k) – {-2 + [3 – (4 - 1) + (2 – 5)] - 6} =
m) –{2 + [4 – 3 – (2 + 5) – (3 + 1)]} + 6 =
b) 8 – (-14) =c) (-3) + 5 + (-5) + 3 =
d) (-99) + (-104) + (-1) + (-16)=g) –(3 + 7) + 6 + (-1) =
f) (17 – 20 + 3)(12 – 15 + 20) + [(410 : 10) . 2] : 41 + 15 : 3 . 6 =
h) (-9 + 6 - 5) . (-1) - (-3) . (-2 + 6 + 10) =
j) (-3) – (-2 + 4) + (-5 + 6 – 6 - 4) – (-3 + 4 ) =
l) 3 – {2 - [3 – (4 + 6) – (2 - 3)]} + 1 =
n) (-2 + 8) . (-3) - (-4) : (-1 - 1) + (-6) - (-7 + 3) : (-2) =
9) Complete o seguinte quadro:
10) Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
a) Todo número negativo elevado ao quadrado dá como resultado um número negativo.
b) Todo número negativo elevado ao cubo dá como resultado um número negativo.
11) Resolva de dois modos diferentes (se for possível)
12) Resolva as seguintes operações e depois responda:
A radiciação é distributiva em relação à soma e à subtração?
13) Resolva as seguintes operações combinadas
14) Resolva as seguintes potências:
15) Resolva aplicando propriedades:
