ESTADISTICA
Medidas de dispersión
A diferencia de las medidas de tendencia central que registran acumulaciones mediante un solo punto, las medidas de dispersión ubican el grado de separación o alejamiento que tiene una variable en torno a una medida de tendencia central. Este grado de separación indica lo representativa que es la medida de posición con respecto al conjunto total de datos. A mayor dispersión menor representatividad de la medida de posición y viceversa. Las medidas de dispersión más comunes son el recorrido, la varianza y la desviación estándar.
Rango
Es la amplitud total o dispersión máxima de un conjunto de datos. Es decir, representa la distancia que existe entre el primero y el último valor de la variable, también se le conoce como recorrido y se denota por con la letra R.
Teniendo el rango y alguna medida de tendencia central podemos deducir que un rango grande indica alta variabilidad, mientras que un rango pequeño indica que los datos están agrupados, independientemente de dónde esté la medida de tendencia central.
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Si la medida de tendencia central (x, Me o Mo) es alta y el rango pequeño, los datos son estables y homogéneos.
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Si la media es baja y el rango grande, los datos son muy heterogéneos.
Varianza
Mide la mayor o menor dispersión de los valores de la variable respecto a la media aritmética y siempre es mayor o igual que cero. Se define como:
En datos no agrupados:
En datos agrupados:
Donde:
σ² es la varianza
xi es el valor de la variable
ci es el valor central de la clase en datos agrupados por intervalos
μ es la media aritmética
N es la suma de todos los valores de la variable
Desviación estándar
Muestra qué tan alejado está un dato del valor de la media aritmética, es decir, la diferencia que hay entre un dato y la media aritmética. Se denota con la letra griega σ (sigma). Se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
En datos no agrupados:
En datos agrupados:
Ejemplo
En la siguiente tabla se enlistan los diversos diámetros que puede tener un engrane, se desea calcular la media, varianza y desviación estandar
Vamos a reescribir la tabla con los datos agrupados por intervalos, para ello:
k = 1+log2(40)
Primero vamos a determinar el número de intervalos mediante la Regla de Sturges: k = 1+log2(n).
k = 6,32
Como k > 6 entonces haremos 7 intervalos
Calculamos la amplitud (a) de cada intervalo: a = R/k
R = 7,25 - 6
a = 1,25/7
a = 0,18
Calculamos la media aritmética
En promedio, el diámetro de un engranaje es de 6,7 pulgadas
Calculamos la varianza
Calculamos la desviación estandar
Interpretación: En promedio, el diámetro de los engranajes miden 0,31 pulgadas mas menos que la media aritmetica
Ejercicios
1) Las notas de inglés de una clase de 40 alumnos han sido las siguientes, calcula la nota media.
1, 7, 9, 2, 5, 4, 4, 3, 7, 8, 4, 5, 6, 7, 6, 4, 3, 1, 5, 9, 2, 6, 4, 6, 5, 2, 2, 8, 3, 6, 4, 5, 2, 4, 3, 5, 6, 5, 2, 4
2) En una clase de un IES hemos medido la altura de los 25 alumnos. Sus medidas, en cm, son:
Elabora una tabla con intervalos que represente estos resultados con sus frecuencias absolutas, relativas y calcula sus medidas de tendencia central.
3) En un examen de matemáticas los 30 alumnos de una clase han obtenido las puntuaciones recogidas en la siguiente tabla:
Halla la varianza y la desviación estándar
4) Calcula la media de viajeros en establecimientos hoteleros durante 1999. Después calcula la desviación típica para ver si esa media es representativa de todos los meses del año.
5) Representa mediante diagrama de barras las ganancias medias de los trabajadores, según el sexo, en el cuarto trimestre de 1999, que se recogen en la siguiente tabla:
6) Haz un diagrama de torta que represente la frecuencia relativa de la procedencia de los extranjeros residentes en España, en diciembre de 1999, recogidos en la siguiente tabla:
7) El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de Bachillerato es el siguiente:
a) Formar la tabla de la distribución.
b) Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él?
c) Calcular la moda.
d) Hallar la mediana.
e) ¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más pesados?