ESTADISTICA
Medidas de tendencia central
Las medidas de tendencia central son los valores que representan un conjunto de datos, de forma tal, que ayudan a saber dónde están acumulados los datos, pero sin indicar cómo se distribuyen. Se llaman así porque tienden a ubicarse en la parte central del conjunto de datos. Las medidas de tendencia central más comunes son la media aritmética, comúnmente conocida como media aritmética o promedio, la mediana y la moda.
Con la finalidad de que las medidas de tendencia central tengan mayor validez estadística es necesario utilizar fórmulas diferentes para datos agrupados y no agrupados, en donde también debe distinguirse si se trabaja con una muestra o con una población.
Medidas de tendencia central de datos no agrupados:
Media aritmética
Dado un conjunto de datos, {x1, x2, x3, ..., xn} la media aritmética se denota con la letra x o μ (mu) y se define matemáticamente mediante la siguiente fórmula:
Donde n es el tamaño de la muestra o numero total de datos.
Ejemplo
En una serie de días, elegidos al azar, se registró el tiempo en horas de utilización de una impresora en una empresa y se obtuvieron los siguientes resultados: Horas de uso en cada dia: 3.2, 2.1, 2.7, 3.4, 1.9, 4.2, 3.8, 2.6, 5.2, 4. Se desea calcular cuantas horas en promedio se usa la impresora por dia.
Respuesta: En promedio, la impresora de la empresa se utiliza 3,31 horas por día
Importante: Siempre debe de escribirse una respuesta dando una interpretación adecuada al dato obtenido
Mediana
La mediana (Me) es el valor que divide a la mitad la serie de datos que se tienen. Es decir, cuando se acomodan los datos, ya sea en orden creciente o decreciente, la mediana queda en medio de ellos.
• Si 𝑛 es impar hay un dato que queda en medio de todos, este será igual a la mediana.
• Si 𝑛 es par hay dos datos centrales, en este caso la mediana es el promedio de esos dos datos, es decir, su suma dividida entre dos.
Ejemplo
Siguiendo el ejemplo anterior, dado que n = 10 debemos calcular el promedio de los 2 valores centrales:
Me = 3.2 + 3.4 = 3,3
2
Interpretación: La mitad de los días, la impresora se usó 3,3 horas o menos, y la mitad restante, la impresora se usó mas de 3,3 horas.
Con la mediana dividimos la población en 2 mitades 50 - 50, pero existen otras mediciones que veremos a continuación que dividen la población de manera diferente
Cuartiles
Los cuartiles dividen a los datos en 4 partes iguales, el primer cuartil corresponde al percentil 25, el segundo cuartil corresponde al percentil 50, la que ya conocemos como mediana y el tercer cuartil corresponde al percentil 75, se representan como Q1 , Q2 y Q3 respectivamente y para encontrar su posición debemos aplicar las siguientes formulas:
P1 divide la población en 25-75 es decir, el 25% de la población, la variable tendrá un valor igual o inferior a Q1 (Valor de la variable en la posición P1), mientras que el 75% restante tendrá un valor mayor a Q1
Como ya mencionamos, P2 es la mediana, por lo tanto divide la población en 50-50
P2 divide la población en 75-25 es decir, el 75% de la población, la variable tendrá un valor igual o inferior a Q3, mientras que el 25% restante tendrá un valor mayor a Q3
Nota: Si obtenemos como resultado un número decimal, debemos calcular el promedio entre el número de la variable en esa posición y el siguiente.
El diagrama de cajón y bigotes es un rectángulo donde en el extremo izquierdo se ubica Q1,en el extremo derecho Q3, y la mediana es una línea que separa a este rectángulo. Desde los extremos de este rectángulo o caja salen los bigotes que son segmentos que se extienden hasta el valor mínimo y al valor máximo por el otro
Ejemplo:
Las edades de los nietos de una familia son: 10, 12, 12, 14, 16, 16, 18, 20,22, 23, 24, 26.
n = 12 por lo tanto:
-
Tenemos que el dato mínimo es 10
-
El primer cuartil está ubicado en P1= (12+1)/4 = 3,25
Por lo tanto procedemos a calcular el promedio entre los datos de la 3ra y 4ta posición:
Q1 = 12 + 14 = 13
2
El 25% de los nietos tienen 13 años o menos y el 75% restante tiene mas de 13 años
-
El segundo cuartil o mediana está ubicado en = P2= 2(12+1)/4 = 6,5
Por lo tanto procedemos a calcular el promedio entre los datos de la 6ta y 7ma posición:
Q1 = 16 + 18 = 17
2
El 50% de los nietos tienen 17 años o menos y el 50% restante tiene mas de 17 años
-
El tercer cuartil está ubicado en P3 = 3(12+1)/4 = 9,75
Por lo tanto procedemos a calcular el promedio entre los datos de la 9na y 10ma posición:
Q1 = 22 + 23 = 22,5
2
El 75% de los nietos tienen 22,5 años o menos y el 25% restante tiene mas de 22,5 años
-
Por ultimo, el dato máximo igual a 26.
Moda
Corresponde al valor que más se repite y de denota como Mo
Ejemplo
En un grupo de estudiantes se preguntó que nota obtuvieron en su último examen de matemática. Sus respuestas fueron:
1,1,2,2,3,3,4,4,4,4,5,5,6,6,7,7,8,9,9,9
Como el valor que mas se repite es el 4, podemos afirmar que la moda Mo = 4.
Interpretación: En un grupo de 20 alumnos, lo mas común es que se sacaran un 4 en el último examen de matemática.
Medidas de tendencia central de datos agrupados:
Debemos distinguir los datos agrupados según estén en frecuencias simples o agrupados por intervalos.
FRECUENCIAS SIMPLES
Media aritmética
Los datos agrupados en frecuencias simples son las tablas que contienen en una columna el valor de la variable (𝑥𝑖) y en otra columna la frecuencia (𝑓𝑖) o el número de veces que se repite cada valor en una serie de datos. Para calcular la media aritmética con datos agrupados se realiza la sumatoria del valor de la variable (𝑥𝑖) por el valor de su frecuencia (𝑓𝑖) y el resultado se divide, para el caso de la población, entre n, es decir:
Ejemplo
Si agrupamos del ejemplo anterior del grupo de 20 alumnos que tuvieron un examen de matemática, obtenemos la siguiente tabla:
Interpretación: En promedio, los alumnos obtuvieron 4,95 es su último examen de matemática
Mediana
Para hallar la mediana en datos agrupados con frecuencias simples primero debemos calcular la frecuencia absoluta acumulada Fi.
Siguiendo el ejemplo anterior:
1) Calculamos n/2
2) Ubicamos donde se encuentra ese valor o el primer valor mayor a éste en la columna de la frecuencia absoluta acumulada
3) La mediana será el valor de xi que se encuentra en esa fila
Interpretación: La mitad de los alumnos obtuvieron un 4 o menos en el examen de matemática, y la otra mitad obtuvo 4 o mas
Cuartiles
Trabajamos de manera análoga a la mediana a diferencia de:
-
Q1 = n/4
En el ejemplo anterior: 20/4 = 5 por lo tanto la 1er frecuencia acumulada con ese valor o superior es 6 (3ra fila), por lo tanto Q1 = 3
Es decir: El 25% de los alumnos obtuvieron un 3 o menos, y el 75% restante obtuvo mas de 3
-
Q2 = 2n/4 = n/2 = Me = 4
-
Q3 = 3n/4
En el ejemplo anterior: 3.20/4 = 15 por lo tanto la 1er frecuencia acumulada con ese valor o superior es 16 (7ma fila), por lo tanto Q3 = 7
Es decir: El 75% de los alumnos obtuvieron un 7 o menos, y el 25% restante obtuvo mas de 7
Moda
Para hallar la moda en una tabla con datos acumulados simples solo debemos hallar la mayor frecuencia fi, la moda será el valor que toma la variable (xi) en esa posición.
Siguiendo la tabla anterior, la frecuencia con mayor valor es 4 y el valor de la variable asociado a esa posición también es 4, es decir:
Interpretación: Lo que mas se repite, es que los alumnos obtuvieran un 4 en el examen de matemática.
Nota: Algunas veces el valor que más se repite puede no ser único, es decir, puede haber dos o más datos que aparezcan con la misma frecuencia absoluta, siendo esta la mayor. En esas ocasiones se habla de poblaciones o muestras bimodales cuando existen dos modas o multimodales si existen más de dos.
FRECUENCIAS AGRUPADAS EN INTERVALOS
Media aritmética
Los datos agrupados en intervalos son los que se organizan dentro de un rango establecido entre un límite inferior y un límite superior. La fórmula para calcular la media aritmética es:
Donde xi es el valor medio de cada clase, se calcula haciendo el promedio entre el limite superior e inferior, es decir:
Ejemplo
En la siguiente tabla se presentan, mediante una distribución de frecuencias, los kilómetros recorridos por estudiantes en la universidad. Determina la media aritmética.
Primero calculamos cada valor medio, por ejemplo:
0 + 18 = 9
2
Ya teniendo los valores centrales de cada clase podemos aplicar la fórmula para calcular la media aritmética:
Interpretación: Los estudiantes de la universidad recorren en promedio, 47,88 km
Mediana
Cuando se quiere calcular la mediana en datos agrupados por intervalos, se tiene que buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas, es decir, es necesario localizar el intervalo donde se encuentre 𝑁/2 , para lo cual se utiliza la siguiente fórmula:
Donde: Linf se refiere al límite inferior donde se encuentra n/2
Fi-1 Es la frecuencia acumulada de la fila superior a donde hallamos n/2
fi Es la frecuencia en la fila donde está n/2
a = amplitud de cada clase
Siguiendo el ejemplo anterior
Interpretación: La mitad de los estudiantes de la universidad recorren 49,5km o menos y la mitad restante recorre mas de 49,5km.
Cuartiles
Trabajamos de manera análoga a la mediana a diferencia de:
-
P1 = n/4
Siguiendo el ejemplo anterior
P1 = 25 (fila 2), por lo tanto:
Interpretación; El 25% de los alumnos de la universidad recorren 24,43km o menos, y el 75% restante recorre mas de 24,43km
-
P2 = 2n/4 = n/2 = Me
-
P3 = 3n/4
Siguiendo el ejemplo anterior
P3 = 75 (fila 4), por lo tanto:
Interpretación: La 75% de los estudiantes de la universidad recorren 66,46km o menos y el 25% restante recorre mas de 66,46km.
Moda
Cuando la distribución de datos es por intervalos de clase, primero se localiza el intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta y se utiliza la siguiente fórmula para calcular la moda:
Siguiendo el ejemplo anterior, la mayor frecuencia fi = 28 por lo tanto:
Interpretación: Lo que mas se repite, es que estudiantes de la universidad, recorran 51,75 km