INTEGRAL
Definición
Una integral es la antiderivada o primitiva de una función F(x); eso es todo, es otra función F(x) cuya derivada es f(x).
F′ (x) = f(x)
Se denota como
Una función F(x) tiene, en general, infinitas primitivas, pero todas ellas difieren únicamente en una constante C. El conjunto de todas las primitivas de F(x) se denomina integral indefinida.
Ejemplo:
Analicemos la integral de f(x) = 3x + 2 y decidamos:
Demostración: Si derivamos F(x) =3/2x² + 2x + C, deberíamos obtener nuevamente la función original f(x) =3x + 2
Nota: Como se ve en la demostración, si F(x) es una primitiva de f (x), entonces F′(x) = f(x), también es F(x) + C, para cualquier constante C ∈ |R. Esto se debe a que sus derivadas coinciden: (F(x) + C)′ = F′(x) + C ′ = F′(x) = f(x).
INTEGRALES INMEDIATAS
Las integrales inmediatas son aquellas cuyo resultado se puede obtener mentalmente, sin más que considerar (a la inversa) las reglas de derivación. A continuación, mostraremos las integrales inmediatas más utilizadas:
La integral de dx es igual a 1 dx, por lo tanto, debemos razonar de la siguiente manera:
¿Cuál es la función primitiva cuya derivada es 1?
La respuesta es f(x) = x porque al derivar x obtenemos 1 o sea: f'(x) = 1 y no debemos olvidar que a cualquier función primitiva debemos agregar una constante c. Por lo tanto, ∫ 1dx = x + c
La integral de cualquier función polinómica es otra función polinómica de mayor grado.
Ejemplo:
Pero si derivamos el resultado obtenemos:
No volvamos a la función original f(x) = x², nos queda 3, así que sumaremos 1/3 a F(x) para que la derivada se pueda simplificar, es decir:
Una función irracional es igual que el caso anterior porque es una potencia racional, con una pequeña diferencia:
Cuando derivamos una raíz cuadrada, el índice cae en la división del denominador, por lo que para eliminar este 2, debemos agregar a la función primitiva un 2 mediante la multiplicación para que se simplifique, es decir:
Si derivamos la función primitiva obtenemos:
En un caso similar al anterior, la diferencia es que ahora al derivar la función exponencial caemos
Por lo tanto, a la función primitiva debemos añadir
Demostración:
Demostración:
La derivada de ln x + C = 1/x
Demostración:
F(x) = -cos(x) + C =
F´(x) = - (-sin(x)) + 0
F´(x) = f(x) = sin(x)
Demostración:
F(x) = sin(x) + C =
F´(x) = cos (x) + 0
F´(x) = f(x) = cos (x)
Propiedades
La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la función.
-
La integral de la suma de funciones es la suma de las integrales.
-
La integral del resto de las funciones es el resto de las integrales.
Ejemplo:
Utilizando las propiedades, podemos ver cómo resolvemos la primera integral que mencionamos como ejemplo al principio de la sección, y es decir:
Ceremonias:
