GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO
La Geometría Analítica 3D es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de las figuras en el espacio tridimensional.
Sistema de Coordenadas 3D
Se basa en tres ejes perpendiculares (x, y, z) que se cortan en el origen (0, 0, 0), siguiendo comúnmente la regla de la mano derecha.
Un sistema de ejes bidimensional se dividía en 4 cuadrantes, estos tres planos coordenados dividen el espacio tridimensional en ocho octantes.
De manera análoga al par ordenado (x,y) que puede ser representado como un punto en un sistema de ejes bidimensional, un trio ordenado (x,y,z) también puede ser representado como un punto en un sistema de ejes tridimensional.
Dado el trio (x0, y0, z0) nos desplazamos por el eje x partiendo del origen hasta x0, luego nos desplazamos paralelamente al eje y hasta y0 (Encontrando un primer punto en el plano xy. Y de ahí finalmente nos desplazamos arriba o abajo paralelamente al eje z hasta z0
Ejemplos:
P1 = (3, 3, -2)
P2 = (1, 6, 0)
P3 = (-2, 5, 4)
P4 = (2, -5, 3)
Ejemplo
Determinar la distancia entre P3 y P4 del ejemplo anterior
Vector
Un vector es un ente geométrico representa una magnitud con dirección y sentido, típicamente graficado como un segmento de recta orientado (una flecha) con su punto inicial en el origen el sistema de coordenadas y se denota en su forma de componentes como v = (x, y, z) donde (x, y, z) es el punto final del segmento o en su forma canónica como v = ai + bj + ck. Se caracteriza por tres elementos: Módulo (longitud), dirección (ángulo de inclinación) y sentido (punta de la flecha).
En esta sección nos enfocaremos en rectas, planos y cúbicas, para profundizar VECTORES recomiendo ir a su apartado donde profundizamos sus propiedades y operaciones
Recta en el espacio
La recta como lugar geométrico
Sea un punto fijo P1 y un vector u, el lugar geométrico:
r es la recta que pasa por P1 y tiene la misma dirección que el vector u. Hemos descrito la recta r del espacio, como el lugar geométrico de los puntos P; que son extremos de los vectores PP1 colineales con u, es decir:
El punto P (móvil) describe la recta, cuando t recorre el conjunto R de números recales.
Ecuación vectorial de la recta
Sea el punto fijo P1 = (x1 , y1 , z1) perteneciente a la recta. El vector u = (u1 , u2 , u3). El lugar geométrico lo podemos escribir como:
donde es la ecuación vectorial de la recta.
Ecuaciones paramétricas de la recta
Si en la ecuación vectorial trabajamos con las componentes de los vectores que en ella figuran, es decir: OP = (x , y , z), OP1 = (x1 , y1 , z1) y u = (u1 , u2 , u3) tenemos:
OP = OP1 + t.u
(x , y , z), = (x1 , y1 , z1) + t(u1 , u2 , u3)
(x , y , z), = (x1+t.u1, y1 + t.u2, z1 + t.u3)
Que son las ecuaciones paramétricas de la recta
Cuyo punto de paso es P1 = (x1 , y1 , z1) y cuya dirección es la del vector u = (u1 , u2 , u3).
Nota: Como P1 y el vector dirección u son fijos, t es el parámetro que determina la distancia de cualquier punto P (x, y, z) perteneciente a la recta con el punto fijo P1
Forma canónica de la ecuación de la recta en el espacio
Si despejamos el parámetro t de las ecuaciones paramétricas obtenemos:
t = x - x1 , t = y - y1 y t = z - z1
u1 u2 u3
y como t = t = t reemplazamos y obtenemos la forma canónica o simétrica de la ecuación de la recta.
r) x - x1 = y - y1 = z - z1
u1 u2 u3
Ecuación de la recta en su forma general
Si tomamos los primeros dos miembros de la forma canónica tenemos:
x - x1 = y - y1
u1 u2
(x - x1).u2 = (y - y1).u1
x.u2 - x1.u2 = y.u1 - y1.u1
x.u2 - y.u1 + y1.u1 - x1.u2
Hacemos: A = u2, B = -u1, C = 0 y D = y1.u1 - x1.u2
Tenemos: Ax + By + Cz + D = 0
Y si tomamos el segundo y tercer miembro de la forma canónica tenemos:
y - y1 = z - z1
u2 u3
(y - y1).u3 = (z - z1).u2
y.u3 - y1.u3 = z.u2 - z1.u2
y.u3 - z.u2 + z1.u2 - y1.u3 =
Hacemos: A'=0, B' = u3, C' = -u2 y D' = z1.u2 - y1.u3
Tenemos: A'x + B'y + C'z + D = 0
Llegamos así a la ecuación de la recta en su forma implícita: r)
Cada ecuacion representa un plano y la interseccion de ambos planos nos da la recta
Ejemplos:
1) Recta que pasa por el origen:
En toda recta que pase por el origen, el punto P1 = (0 , 0 , 0) por lo tanto:
Su ecuación paramétrica será:
En su forma canónica:
Y en su forma general:
Para graficar solo debemos extender el vector dirección u = (u1, u2, u3)
2) Rectas paralelas a los ejes de coordenadas
-
Recta paralela al eje x:
Pasa por el punto P1 = (0,2,4) y su vector director es v = (3,0,0)
En su forma paramétrica:
En su forma canónica:
En su forma general:
Para graficar debemos trasladar el vector dirección hasta el punto P1
La otra opción es sumarle al punto P1 el vector dirección u:
P1 + u = (0,2,4) + (3,0,0) = (3,2,4)
Ya teniendo 2 puntos podemos graficar una única recta que pase por ellos
-
Recta paralela al eje y:
Pasa por el punto P1 = (3,7,4) y su vector director es v = (0,2,0)
En su forma paramétrica:
En su forma canónica:
En su forma general:
-
Recta paralela al eje z:
Pasa por el punto P1 = (-1,4,6) y su vector director es v = (0,0,-2)
En su forma paramétrica:
En su forma canónica:
En su forma general:
3) Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (1, 2, 1) y cuyo vector director es v = (4,5,-1).
En su forma paramétrica:
En su forma canónica:
En su forma general:
Como dijimos anteriormente, para graficar solo necesitamos sumar al punto P1 el vector dirección u:
P1 + u = (1,2,1) + (4,5,-1) = (5, 7, 0)
Ya teniendo dos puntos podemos graficar la recta que pase por ellos.
Otra forma de graficar es dándole 2 valores a x en la formulas canónica o general y hallar los valores de y y de z respectivamente:
Para x = 1. Utilizo la 1er ecuación de la forma general:
5x - 4y + 3 = 0
5.1 - 4y + 3 = 0
5 - 4y + 3 = 0
y = 2
Utilizo y = 2 en la 2da ecuación de la forma general:
y + 5z - 7 = 0
2 + 5z - 7 = 0
z = 1
Y así encontramos un punto a = (1,2,1). Queda repetir el proceso dándole otro valor a x para hallar un segundo punto
Pasaje de la forma general a las ecuaciones paramétricas
Para expresar la ecuación de una recta en su forma paramétrica necesitamos un punto P1 y un vector dirección u.
Vamos a encontrar el vector:
Ya mencionamos que cada formula de la forma general representa un plano en el espacio, y los coeficientes forman vectores perpendiculares a cada plano respectivamente, es decir:
n1 = (A,B,C) es un vector perpendicular al primer plano
n2 = (A',B',C') es un vector perpendicular al segundo plano
El vector que buscamos es perpendicular a los vectores n1 y n2 antes mencionados, por lo tanto, para hallar el vector dirección debemos hacer el producto vectorial n1 x n2
Ejemplo:
Extraemos las normales (vectores perpendiculares) de la forma general
Ya teniendo el vector dirección solo nos queda hallar un punto:
Damos a x = 0: (Recuerda que podemos asignarle el valor que queramos)
Resolvemos el sistema de ecuaciones
El punto hallado es P1 = (0, -1/2, 1/2) y junto al vector dirección hallado anteriormente, ya estamos en condición de poder graficar la recta en el espacio
Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos
Anteriormente mencionamos que para graficar la recta teniendo un punto y el vector dirección solo debíamos sumar al punto P1 el vector dirección u.
Ahora, teniendo dos puntos debemos hacer lo contrario, es decir:
P1 + u = P2
u = P2 - P1 = (x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
por ello, las ecuaciones de la recta, en forma paramétrica y canónica son:
Ejemplo:
Determinar la recta que pasa por los puntos a = (1,6,3) y b = (2,-4,0)
Hallamos el vector dirección restando los puntos:
u = b - a
= (2,-4,0) - (1,6,3)
= (1,-10,-3)
Teniendo el vector dirección escribimos la ecuación de la recta con cualquiera de los dos puntos dados:
Intersección de rectas
A partir de las rectas en su forma canónica podemos armar el siguiente sistema de ecuaciones:
Un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas (x, y, z) que componen el punto de intersección que buscamos
De igual manera, a partir de las ecuaciones de la recta en sus formas generales podemos armar un sistema de ecuaciones similar.
Ejemplo:
Armamos la ecuación matricial
Resolvemos la matriz ampliada (A|B) con el método de Gauss (Ver método de Gauss en MATRICES
Encontramos el conjunto solución: Cs = {x = -1 ; y = 1 ; z = 12}
Por lo tanto, las rectas r y s se intersecan en el punto P = (-1,1 ,12) o r ∩ s = {(-1, 1, 12)}
Para graficar podemos llevar las ecuaciones de las rectas de sus formas generales a sus formas paramétricas
Otro método es simplemente darle dos valores a la variable x a cada ecuación general para hallar 2 puntos y trazar las rectas entre éstos
Ángulos entre dos rectas
Para poder determinar un ángulo entre dos rectas en el espacio, primeramente éstas deben ser coplanares, es decir, pertenecer a un mismo plano, y para que suceda esto, deben cumplirse una de las siguientes condiciones:
-
Ambas rectas deben ser paralelas: r1 // r2
-
Ambas rectas se deben intersecar en un punto: r1 ∩ r2 = P(x,y,z)
-
Ambas rectas deben ser coincidentes: r1 = r2
Si las rectas no son coplanares r1 ∩ r2 = Ø, en este caso se dicen que las rectas son alabeadas.
Rectas paralelas
Si dos rectas son paralelas, sus vectores direcciones u y v son paralelos (u // v). Cuando es así, u y v son linealmente dependientes (L.D.): u = kv
Ejemplo:
Extraemos los vectores paralelos a los planos
Calculamos los vectores perpendiculares a las normales
Como vemos, los vectores u y v son linealmente dependientes, por lo tanto u//v.
Para determinar r y s son paralelas o coincidentes debemos hallar un punto en cada recta:
En r) Damos a x = 0
6x - 2y - 26 = 0 -4x - 2z + 22 = 0
- 2y - 26 = 0 - 2z + 22 = 0
- 2y = 26 - 2z = -22
y = -13 z = 11
Por lo tanto el punto P = (0,-13,11) pertenece a la recta r
Ahora debemos analizar si ese mismo punto P pertenece a la recta s:
En s) Damos a x = 0
-3x + y + 13 = 0 2x + z - 18 = 0
y + 13 = 0 z - 18 = 0
y = -13 z = 18
El punto P'=(0,-13,18) pertenece a la recta s
P ≠ P' Por lo tanto r//s
Rectas perpendiculares
Para averiguar el ángulo entre dos rectas debemos calcular el producto escalar de sus vectores direcciones.
Ejemplo:
Hallamos los puntos y vectores de cada recta
Aplicamos la formula de producto escalar y despejamos cos(α)
Calculamos el producto escalar
En este caso, al darnos 0 no necesitamos calcular los módulos de cada uno de los vectores
Despejamos α y calculamos el arcos (0)
De esta forma, encontramos el ángulo formado por dos rectas en el espacio
Ejercicios
1) Dado el punto A = (10, -3, 1) y vector director es u = (-2, 1, -1):
a) Hallar las ecuaciones paramétricas, canónicas y general de la recta que pasa por el punto con dirección u.
b) Grafica
2) Dado los puntos A(1, 0, 1) y B(0, 1, 1):
a) Hallar las ecuaciones paramétricas, canónicas y general de la recta que pasa por los dos puntos.
b) Grafica
3) Determina si los puntos A(0, −2, −2) y B(3, 2, 6) pertenecen a la recta r:
4) Hallar las ecuaciones en forma paramétrica y general de la siguiente ecuación canónica y grafica
5) Hallar las ecuaciones en forma paramétrica y canónica de la siguiente ecuación general y grafica
6) Determina las ecuaciones de la recta que pase por los puntos P(3,1,0),Q(0,-5,1) y grafica
7) Halla todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(-4,2,5) y es paralela al eje z.
8) Obtén el valor de a para que las rectas r y s se corten y halla el punto de corte.
9) Halla los valores de m y n para que las rectas r y s sean paralelas:
10) Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A = (1, -1, 0) y corta a las rectas:
