CONICAS
Definición
Se denomina sección cónica o simplemente cónica a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas.
Se clasifican en cuatro tipos: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
Podemos definir y analizar las cónicas con ecuaciones de la forma Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 donde debe contener al menos uno de los términos de segundo grado x² o y².
Ya habiendo estudiado los 4 tipos de cónicas y sus ecuaciones podemos afirmar que:
-
En la ecuación general x² + y² + Dx + Ey + F = 0 de una circunferencia A =C =1 y B = 0
Ejemplo:
-
En la ecuación general Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 de una elipse A ≠ C con A y C positivos y B = 0
Ejemplo:
-
En la ecuación general Ax² - Cy² + Dx + Ey + F = 0 de una hipérbola A ≠ C con A y C de signos opuestos y B = 0
Ejemplo:
-
En la ecuación general Ax² + Dx + Ey + F = 0 o Cy² + Dx + Ey + F = 0 de una parábola solo existe un término cuadrático es decir: x² o y² y B = 0
Ejemplo:
Nota: Toda ecuación con B ≠ 0 tiene cónicas con desplazamiento angular
Circunferencia
Definición geométrica
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos P de un plano que equidistan de otro punto fijo C, llamado centro, en una cantidad constante r, llamada radio. Es decir:
Γ (C,r) = {P / d(C, P ) = r}
Siguiendo la grafica de una circunferencia cualquiera, su ecuación está dada por la distancia r (radio) entre el punto 0 (h,k) y todos los puntos P (x,y). Ver Distancia entre dos puntos . Es decir:
(x - h)² + (y - k)² = r²
Si desarrollamos los binomios obtenemos la ecuación en su forma general:
x² + y² + a.x + b.y + c = 0
Ejemplo 1: Determinar la ecuación y grafica de la circunferencia de centro C(3,2) y radio r=4
(x - h)² + (y - k)² = r²
(x - 3)² + (y - 2)² = 4²
(x - 3)² + (y - 2)² = 16
Escribimos la ecuación canónica
Reemplazamos h=3, k=2 y r=4
Calculamos 4²
Ya teniendo la ecuación en su forma canónica podemos graficar
Como ya vimos, para graficar no precisamos llevar la ecuación de su forma canónica a su forma general, pero en esta ocasión vamos a hacerlo a modo de ejemplo para entender el procedimiento:
(x - 3)² + (y - 2)² = 16
x² + 2.x.(-3) + (-3)² + y² + 2.y.2 + 2² = 16
x² - 6x + 9 + y² + 4y + 4 = 16
Desarrollamos el CUADRADO DE UN BINOMIO en cada término cuadrático
Igualamos la ecuación a 0
x² - 6x + 9 + y² + 4y + 4 -16 = 0
x² + y² - 6x + 4y -1 = 0
Ordenamos y agrupamos los términos semejantes
Análisis
Ceros o Intersección con el eje de las abscisas
Para hallar los puntos que interceptan la circunferencia con el eje de las abscisas (x) reemplazamos y = 0 en cualquiera de las ecuaciones
Intersección con el eje de las ordenadas
Para hallar los puntos que interceptan la circunferencia con el eje de las ordenadas (y) reemplazamos x = 0 en cualquiera de las ecuaciones
Ejemplo 2: Determinar centro, radio, ecuación canónica y graficar
x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0
(x² - 2x) + (y² + 4y) = 4
1 2
Debemos llevar la ecuación de la circunferencia a su forma canónica, para ello:
Primero agrupamos las variables
Ya agrupados los términos con misma variable procedemos a completar cuadrado, esto es, armar un trinomio cuadrado perfecto. Para ello, calculamos la mitad de cada término lineal, es decir -2x y 4y
(x² - 2x + 1² - 1²) + (y² + 4y + 2² - 2²) = 4
(x² - 2x + 1 - 1) + (y² + 4y + 4 - 4) = 4
(x² - 2x + 1) - 1 + (y² + 4y + 4) - 4 = 4
(x² - 2x + 1) + (y² + 4y + 4) = 4 + 1 + 4
(x² - 2x + 1) + (y² + 4y + 4) = 9 (x - 1)² + (y + 2)² = 9
Completamos el trinomio cuadrado perfecto agregando 1² y 2²
Importante: Como estamos agregando 2 valores a la ecuación, debemos agregar también sus opuestos para no alterarla
Quitamos esos valores opuestos para dejar solo los 3 términos que necesitamos para formar los trinomios
Ahora si ya podemos armar los binomios de Newton con cada trinomio cuadrado perfecto para dejar nuestra ecuación en su forma canónica
Con la ecuación en su forma canónica podemos extraer de ella el centro (h,k) = (1,-2) y el radio r = √9 = 3
Elipse
Definición geométrica
Una elipse es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) en un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos es contante. Esta suma constante es igual a la longitud del eje mayor, comúnmente denominada 2a. Es decir:
E (F1,F2) = {P / d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2a}
Siguiendo la grafica de una elipse cualquiera, su ecuación canónica es
(x - h)² + (y - k)² = 1
a² b²
Eje focal en x
(x - h)² + (y - k)² = 1
b² a²
Eje focal en y
Si desarrollamos los binomios obtenemos la ecuación en su forma general:
ax² + by² + cx + dy + e = 0
Ejemplo:
Como no tiene (h,k) podemos afirmar que su centro está en el origen
Como el eje mayor se encuentra en el segundo término, su grafica estará sobre el eje y
a = 5
b = 4
Análisis
Centro = (h,k)
Siguiendo el ejemplo el centro es (0,0)
Eje Mayor = 2a
2a = 2.5 = 10
Eje Menor = 2b
2b = 2.4 = 8
Vértices:
-
Si el eje focal es paralelo al eje x
Vértices Principales: A1 = (h+a , k) y A2=(h-a , k)
Vértices Secundarios: B1 = (h , k+b) y B2=(h , k-b)
-
Si el eje focal es paralelo al eje y
Vértices Principales: A1 = (h , k+a) y A2=(h , k-a)
Vértices Secundarios: B1 = (h+b , k) y B2=(h-b , k)
Semi Distancia Focal c = Es la distancia del centro a un foco
Distancia Focal = 2c
2c = 6
F1 y F2 =
-
Si el eje focal es paralelo al eje x: Agregamos a h la semi distancia focal y su opuesto c y -c
F1 = ( h + c , k)
F2 = ( h - c , k)
-
Si el eje focal es paralelo al eje y: Agregamos a k la semi distancia focal y su opuesto c y -c
F1 = ( h , k + c )
F2 = ( h , k - c )
O sea: F1 = (0 , 0 + 3)
F1 = (0, 3)
F2 = ( 0 , 0 - 3 )
F2 = (0 , -3)
Excentricidad e: Es un valor comprendido entre 0 y 1 siendo:
Cuando mas se acerque el valor a 0 la elipse mas se asemejará a una circunferencia
Cuando mas se acerque al valor 1 la elipse será mas aplanada
Se calcula haciendo la división
Siguiendo el ejemplo: e = 3/5
Nota: Una circunferencia es una elipse con a = b Por lo tanto la semi distancia focal c vale 0 o sea, su excentricidad es e =0
Hipérbola
Definición geométrica
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos en un plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante en valor absoluto. Esta constante equivale a la longitud del eje transverso (2a), donde a es la distancia del centro a un vértice. Es decir:
H (F1,F2) = {P / |d(P, F1 ) - d(P, F2 )| = 2a}
Según su ecuación, tendremos 2 tipos de hipérbolas:
Hipérbola Horizontal
ax² - by² + cx + dy + e = 0
Hipérbola Vertical
ay² - bx² + cx + dy + e = 0
Análisis
Centro = (h,k)
Siguiendo el ejemplo el centro es (0,0)
Eje Mayor = 2a
2a = 2.5 = 10
Eje Menor = 2b
2b = 2.4 = 8
Vértices:
-
Si el eje focal es paralelo al eje x
Vértices Principales: A1 = (h+a , k) y A2=(h-a , k)
Vértices Secundarios: B1 = (h , k+b) y B2=(h , k-b)
-
Si el eje focal es paralelo al eje y
Vértices Principales: A1 = (h , k+a) y A2=(h , k-a)
Vértices Secundarios: B1 = (h+b , k) y B2=(h-b , k)
Semi Distancia Focal c = Es la distancia del centro a un foco
Distancia Focal = 2c
F1 y F2 =
-
Si el eje focal es paralelo al eje x: Agregamos a h la semi distancia focal y su opuesto c y -c
F1 = ( h + c , k)
F2 = ( h - c , k)
-
Si el eje focal es paralelo al eje y: Agregamos a k la semi distancia focal y su opuesto c y -c
F1 = ( h , k + c )
F2 = ( h , k - c )
Excentricidad e:
Cuando mas se acerque el valor a 1 la hipérbola será mas cerrada mientras que cuando mas se aleje del valor 1 la elipse será mas abierta
Se calcula haciendo la división
Ejemplos:
e = 1,07
e = 2,23
Nota: Debido a que c siempre es mayor que a, la excentricidad c siempre es mayor a 1, c > 1
Asíntotas
Hipérbola Horizontal
Hipérbola Vertical
Ejemplo 1:
Llevamos la ecuación de su forma gral a la canónica:
Agrupamos los términos con igual variables
Sacamos factor común
Completamos el trinomio cuadrado perfecto agregando el tercer término faltante y su opuesto para no alterar la expresión original
Quitamos el opuesto del paréntesis aplicando propiedad distributiva
Reescribimos el trinomio como binomio de Newton
Por ultimo dividimos todo por 12 para que la ecuación nos quede igualada a 1
Análisis y grafica:
Centro: (1 , 0)
Eje mayor:
a² = 3 ⇒ a = √3
2a = 2√3
Eje menor:
b² = 4 ⇒ b = 2
2b = 4
Vértices:
A1=(1-√3 , 0), A2=(1+√3 , 0)
B1=(1 , 2), B2=(1 , -2)
Distancia focal:
2c = 2√7
F1 = (1+√7, 0) , F2 = (1-√7 , 0)
Excentricidad:
e = c/a
e = √7/3
Asíntotas:
Reemplazamos los valores en la fórmula de la Hipérbola horizontal (Ver Función lineal )
Divido en dos funciones: Una con pendiente positiva y otra con pendiente negativa
Parabola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos en un plano que equidistan (están a la misma distancia) de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija, denominada directriz. Es decir:
P (d , F) = {P / d(P , F ) = d(P , d)}
Según su ecuación, tendremos 2 tipos de parabolas:
Parábola Vertical
(x - h)² = 4p.(y - k)
Parábola Horizontal
(y - k)² = 4p.(x - h)
Análisis
Vértice = (h,k)
Siguiendo el ejemplo el centro es (0,0)
Eje de Simetría:
-
Si la parábola es vertical: x = h
-
Si la parábola es horizontal: y = k
Semi Distancia Focal p = Es la distancia del vértice a un foco
Distancia Focal (2p) = Es la distancia del foco a la directriz
Foco:
-
Si el eje de simetría es paralelo al eje x: Agregamos a h la semi distancia focal p
F1 = ( h + p , k)
Nota: En el caso de que p > 0 el foco F estará a la derecha del vértice
En el caso de que p < 0 el foco F estará a la derecha del vértice
-
Si el eje de simetría es paralelo al eje y: Agregamos a k la semi distancia focal p
F1 = ( h , k + c )
Nota: En el caso de que p > 0 el foco F estará por encima del vértice
En el caso de que p < 0 el foco F estará por debajo del vértice
Directriz:
-
Si la parábola es vertical la directriz está definida por la ecuación y = k - p
-
Si la parábola es horizontal la directriz está definida por la ecuación x = h - p
La siguiente imagen tiene cuatro parábolas sin desplazamiento en (h,k) para mostrar el comportamiento de cada una dependiendo del signo de p
Excentricidad e:
La excentricidad es la razón entre la distancia de un punto de la curva al foco D(p,f) y la distancia de ese mismo punto a la directriz D(p, d). Al ser la distancia al foco y la distancia a la directriz iguales, su cociente es siempre 1
Ejemplo:
Para analizar sus elementos y graficar necesitamos llevar la ecuación a la forma canónica:
Primero dejamos de un lado solo los términos con la variable y para luego completar cuadrado
Agregamos (6/2)² sumando y restando para no alterar la ecuación
Llevamos el -9 al segundo miembro de la ecuación y armamos el binomio de Newton en el 1ero
Por ultimo sacamos factor común 8
Ya con la ecuación en su forma canónica podemos analizar sus elementos:
Vértice (h,k) = (1,3)
Semi distancia focal p:
4p = 8
p = 2
Eje de simetría: Como la parábola es horizontal:
y = k
y = 3
Foco:
F = (h+p, k)
F = (1+2 , 3)
F = (3,3)
Directriz: x = h - p
x = 1 - 2
x = -1
Ejercicios
Responde con Verdadero o falso, justifique su respuesta
Determina sus elementos y graficas de las siguientes parábolas
Determinar la ecuación de la parábola dados los siguientes datos:
-
Vértice en (3, 1) y foco en (3, -1).
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V(-4, 3) y F(-1, 3).
-
Vértice (3, 2) y foco (5, 2).
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V(-3, -2) y F(-3, 1/3).
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Directriz y - 1 = 0 y foco (4, -3).
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F(7, 3) y directriz y + 2 = 0
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Vértice en (1, -3) y directriz y + 5 = 0
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Vértice en (-3, 5), el lado recto mide 24 unidades y su eje es paralelo al eje Y (dos soluciones).
Determina las ecuaciones de las siguientes parábolas a partir de sus graficas
